- •Лекционный курс
- •Раздел 1. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии
- •Тема 1. Элементы векторной алгебры и ее приложения.
- •1.1. Линейные операции над векторами
- •1.2. Скалярное произведение векторов
- •1.3. Векторное произведение векторов
- •1.4. Типовые задачи, решаемые средствами векторной алгебры
- •1.5. Линейное, евклидово и нормированное пространства.
- •Тема 2. Матрицы и определители
- •2.1. Понятие матрицы и действия с ними.
- •2.2. Транспонирование матриц
- •2.3. Произведение матриц.
- •2.4. Ранг матрицы
- •2.5. Понятие обратной матрицы
- •2.6.Определители и их свойства.
- •2.7. Линейные операторы и матрицы
- •2.8. Задача о собственных значениях
- •2.9. Свойства симметрических матриц
- •2.10. Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду
- •Тема 3. Системы линейных уравнений
- •3.1.Формулы Крамера
- •3.2. Метод Гаусса.
- •3.3.Матричный метод решения линейной системы.
- •3.4. Понятие о приближенных методах решения линейных систем
- •Тема 4. Элементы аналитической геометрии на прямой, плоскости и в трехмерном пространстве.
- •4.1. Уравнения линий и поверхностей
- •4.2. Уравнение 1-й степени на плоскости
- •4.3. Уравнения первой степени в пространстве
- •4.4. Уравнения первой степени в пространстве
- •4.5. Типовые задачи на плоскость в пространстве.
- •4.6. Уравнения 2-й степени на плоскости.
- •4.7. Уравнения 2-й степени в пространстве
- •4.8. Цилиндры и поверхности вращения
- •Раздел 2. Математический анализ и дифференциальные уравнения.
- •Тема 5.Функции и их свойства
- •5.1. Функция, способы ее задания, свойства, график функции, преобразование графика сдвигом и деформацией.
- •Тема 6. Пределы и непрерывность.
- •6.1. Понятие предела
- •6.2. Замечательные пределы.
- •6.3. Алгоритм вычисления пределов.
- •6.4. Примеры эквивалентных бмв.
- •Тема 7. Производная и дифференциал функции.
- •7.1. Понятие производной
- •7.2. Дифференциальное исчисление функции одного переменного.
- •7.3. Из определения вытекает алгоритм вычисления производной.
- •7.4.Таблица и основные правила.
- •7.5. Производная и дифференциал.
- •7.6. Производная и дифференциал высшего порядка.
- •Тема 8. Приложения производной
- •Основные теоремы
- •8.2.Приложение производной к исследованию функций.
- •Тема 9. Неопределенный интеграл.
- •9.1.Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства
- •9.3.Методы интегрирования.
- •9.4.Рациональные дроби.
- •9.4.Рациональные тригонометрические функции.
- •9.5.Простейшие иррациональные выражения.
- •Тема 10. Определенный интеграл.
- •Методы нахождения определенного интеграла
- •10. 2.Несобственные интегралы.
- •Тема 11. Дифференциальные уравнения.
- •11.1 Определение дифференциального уравнения
- •11.2. Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка. Методы Их Решения.
- •Тема 12 Функции нескольких переменных
- •12.1.Основные понятия
- •12.2.Непрерывность функций нескольких переменных
- •12.3.Частные производные и дифференциалы
- •12.4. Производная по направлению и градиент
- •12.5. Производная сложной функции нескольких переменных
- •12.6. Производные и дифференциалы высших порядков
- •12.7. Производные неявных функций
- •12.8.Экстремумы функций нескольких переменных
- •Раздел 3. Ряды.
- •Тема 13. Числовые и степенные ряды.
- •Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика
- •Тема 14. Основные понятия теории вероятностей.
- •1. Понятие события.
- •2. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.
- •3. Статистическое определение вероятности.
- •4. Элементы комбинаторики
- •Тема 15. Основные теоремы теории вероятностей и следствия из них.
- •15.1.Теорема сложения.
- •15.2. Условная вероятность события. Теорема умножения
- •15.3. Вероятность появления хотя бы одного события
- •15.4. Формула полной вероятности.Формула Байеса.
- •15.5. Повторные независимые испытания
- •15.6. Локальная теорема Муавра- Лапласа
- •15.7. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
- •Тема 16. Случайные величины и способы их описания
- •16.1. Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные
- •16.2. Функция распределения случайной величины. График функции
- •16.4. Равномерный закон распределения.
- •16.6. Правило «трех сигм».
- •16.7. Показательное распределение.
- •16.8. Функция надежности.
- •16.9. Показательный закон надежности.
- •16.10. Математическое ожидание.
- •16.11. Дисперсия.
- •16.12. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
- •16.13. Числовые характеристики случайных величин, имеющих некоторые стандартные законы распределения.
- •1. Биномиальное распределение.
- •2. Закон Пуассона.
- •3. Равномерное распределение.
- •4. Нормальное распределение.
- •16.14. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли.
- •Корреляционный анализ.
- •Глоссарий
- •Темы контрольных работ.
- •Перечень вопросов для подготовки к экзамену
- •Основная литература
- •Дополнительная литература
Темы контрольных работ.
Матрицы и определители.
Системы линейных уравнений.
Элементы матричного анализа.
Элементы аналитической геометрии.
Функция.
Пределы и непрерывность.
Производная.
Приложения производной.
Дифференциал функции.
Неопределенный интеграл.
Определенный интеграл.
Дифференциальные уравнения.
Числовые ряды.
Степенные ряды.
Функции нескольких переменных.
Основные теоремы теории вероятностей.
Числовые характеристики случайных величин.
Распределение вероятностей случайных величин.
Статистические оценки параметров распределения.
Статистическая проверка статистических гипотез.
Перечень вопросов для подготовки к экзамену
Векторы и их свойства.
Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.
Линейная зависимость векторов.
Размерность и базис векторного пространства.
Переход к новому базису.
Евклидово пространство.
Линейные операторы.
Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
Понятие матрицы
Линейные операции над матрицами
Транспонирование матриц
Произведение матриц
Собственные значения и собственные векторы матриц
Ранг матрицы
Понятие обратной матрицы
Операции над определителями
Свойства определителей
Миноры и алгебраические дополнения
Общий вид и свойства системы уравнений.
Матричная форма системы уравнений.
Методы решения систем линейных уравнений. Метод обратной матрицы.
Методы решения систем линейных уравнений. Метод Крамера.
Методы решения систем линейных уравнений. Метод Гаусса.
Вычисление обратной матрицы методом Гаусса.
Системы однородных линейных уравнений, их решение.
Фундаментальная система решений.
Уравнение прямой на плоскости. Общее уравнение.
Уравнение прямой на плоскости. Уравнение линии в отрезках.
Уравнение прямой на плоскости. Уравнение с угловым коэффициентом.
Линии второго порядка. Эллипс.
Линии второго порядка. Парабола.
Линии второго порядка. Гипербола.
Прямая и плоскость в пространстве.
Множества. Обозначения. Логические символы. Операции над множествами.
Вещественные числа и их основные свойства.
Числовая прямая.
Абсолютная величина числа.
Понятие функции.
Числовые функции. Способы задания функций.
Ограниченность, монотонность, четность и периодичность функции.
Обратная функция. Простейшие элементарные функции.
Сложная функция.
Рациональные функции.
Класс элементарных функций.
Преобразование графиков функций.
Числовые последовательности.
Операции над числовыми последовательностями.
Ограниченные и неограниченные последовательности.
Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
Понятие сходящейся последовательности.
Основные свойства сходящихся последовательностей.
Предельный переход в неравенствах.
Определение и признак сходимости монотонных последовательностей.
Число е.
Предел функции в точке.
Односторонние пределы.
Предел функции при
Теоремы о пределах функций, связанные арифметическими действиями.
Два замечательных предела.
Бесконечно большие и бесконечно малые функции.
Определение непрерывности функции. Арифметические действия над непрерывными функциями.
Определение и классификация точек разрыва функции.
Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.
Прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение.
Ограниченность непрерывной функции на отрезке.
Теорема о достижении функцией, непрерывной на отрезке, своих точных граней.
Понятие равномерной непрерывности функции.
Определение производной.
Физический и геометрический смысл производной.
Вычисление производной на основе её определения.
Непрерывность дифференцируемой функции.
Производная суммы, разности, произведения и частного функций.
Производная сложной, обратной и параметрически заданной функции.
Вычисление производных основных элементарных функций.
Применение производной в экономике. Предельные показатели в микроэкономике. Эластичность экономических показателей. Максимизация прибыли.
Определение и геометрический смысл дифференциала.
Приближённые вычисления с помощью дифференциала.
Понятие производной п- ного порядка.
Теорема Ферма.
Теорема Ролля.
Теорема Лагранжа.
Теорема Коши.
Раскрытие неопределённостей. Правило Лопиталя.
Приложение производной к исследованию функции. Интервалы монотонности.
Приложение производной к исследованию функции. Отыскание точек локального экстремума функции.
Приложение производной к исследованию функции. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции.
Асимптоты графика функции.
Схема исследования функции. Построение графика функции.
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Понятие о неопределенном интеграле.
Основные свойства неопределенного интеграла.
Основные формулы интегрирования.
Методы интегрирования. Метод разложения.
Методы интегрирования. Метод замены переменной.
Методы интегрирования. Метод интегрирования по частям.
Интегрирование рациональных дробей.
Интегрирование иррациональных функций.
Интегрирование тригонометрических функций.
Определенный интеграл.
Классы интегрируемых функций.
Основные свойства определенного интеграла.
Основная формула интегрального исчисления.
Основные правила интегрирования.
Геометрические приложения определенного интеграла.
Несобственные интегралы.
Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении.
Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения.
Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
Неполные уравнения первого порядка.
Линейные уравнения первого порядка.
Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Линейное однородное уравнение.
Линейное неоднородное уравнение.
Задача Коши и краевая задача для уравнения второго порядка.
Понятие функции нескольких переменных.
Линии уровня.
Частные производные первого порядка.
Градиент.
Частные производные высших порядков.
Необходимые условия локального экстремума функции нескольких переменных.
Достаточное условие локального экстремума функции нескольких переменных.
Прибыль от производства разных видов продукции.
Максимизация прибыли.
Производство однородной продукции.
Метод наименьших квадратов.
Понятие о рядах.
Необходимый признак сходимости ряда.
Сравнение рядов.
Признак Даламбера.
Признак сходимости знакочередующихся рядов.
Абсолютно сходящиеся ряды.
Функциональные ряды.
Понятие степенного ряда.
Область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля.
Свойства степенных рядов.
Ряды Тейлора и Маклорена. Формула Тейлора.
Разложение функций в степенной ряд.
Непосредственное разложение функций в ряд Маклорена. Применение готовых разложений.
Правило умножения рядов. Применение почленного интегрирования.
Предмет теории вероятностей.
Виды случайных событий.
Классическое определение вероятности.
Основные формулы комбинаторики.
Относительная частота.
Устойчивость относительной частоты. Статистическое определение вероятности.
Вероятность попадания точки в геометрическую область.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
Полная группа событий.
Противоположные события.
Произведение событий. Условная вероятность.
Теорема умножения вероятностей.
Независимые события. Теорема умножения для независимых событий.
Вероятность появления хотя бы одного события.
Теорема сложения вероятностей совместных событий.
Формула полной вероятности.
Вероятность гипотез. Формула Байеса.
Формула Бернулли.
Локальная теорема Лапласа.
Интегральная теорема Лапласа.
Случайная величина. Дискретные и непрерывные случайные величины.
Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
Биномиальное распределение.
Распределение Пуассона.
Математическое ожидание дискретной случайной величины.
Дисперсия дискретной случайной величины.
Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины.
Теорема Чебышева. Значение теоремы Чебышева для практики.
Функция распределения. Определение, свойства и график.
Определение плотности распределения.
Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал.
Нахождение функции распределения по известной плотности распределения.
Свойства плотности распределения.
Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
Основные распределения непрерывных случайных величин (равномерное, нормальное, Х2, Стьюдента, Фишера - Снедекора)
Задачи математической статистики
Выборки.
Способы отбора.
Статистическое распределение выборки.
Эмпирическая функция распределения.
Полигон и гистограмма.
Виды статистических оценок.
Эмпирические моменты.
Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения.
Доверительный интервал.
Виды статистических гипотез.
Общая схема проверки статистических гипотез.
Типы статистических критериев проверки гипотез.
Предмет метода Монте – Карло.
Оценка погрешности методом Монте – Карло.