1.2. Скалярное произведение векторов

Термином (билинейные операции над векторами) иногда называют операции скалярного и векторного произведений двух векторов.

Определение. Скалярным произведением двух векторов и называют величину Cosф , где ф – угол между векторами. Обозначения или ( , ).

По этому определению двум векторам ставится в соответствие скаляр, который можно истолковать как работу постоянной по величине и направлению силы на прямолинейном участке пути.

Из определения вытекают простейшие свойства такого произведения.

1. = ;

2. С( )=(С ) .

3. ( + ) = +

4. =0

для ненулевых векторов, если векторы ортогональны (перпендикулярны).

Можно получить формулу для вычисления скалярного произведения,

если векторы заданы в координатной форме (своими координатами). Пусть =a_x +a_y +a_z и =b_x +b_y +b_z . Тогда = a_x b_x +a_y b_y +a_z b_z. Т.к. при перемножении по свойству 3 с учетом определения остальные слагаемые будут равны нулю.

Из последнего соотношения следует, что = ² .Читается – скалярный квадрат равен квадрату модуля.

Из определения и полученных соотношений вытекают другие формулы. Например, для проекции одного вектора на другой получаем = . Условие перпендикулярности векторов a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z=0.

1.3. Векторное произведение векторов

Определение. Векторным произведением двух векторов и называют вектор , который:

-имеет модуль, равный произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла меду ними - = sinф;

-ортогонален (перпендикулярен) каждому из векторов и (т.е. плоскости с векторами и );

-вместе с векторами и в порядке , , образует правую тройку векторов. Обозначают векторное произведение или [ , ].

Классическое понятие правой тройки векторов , , в указанном порядке: если наблюдать с конца любого вектора поворот от следующего за ним к предыдущему в направлении против часовой стрелки, то тройка векторов правая. В противном случае – левая.

Примером правой тройки будет набор декартовых базисных векторов , , . А в бытовом понятии правую тройку связывают с правым буравчиком (правой резьбой), когда при вращении по часовой стрелке буравчик (винт, гайка) продвигается вглубь от вращающего.

Т.к. sinф, то геометрически определение говорит о том, что площадь параллелограмма, построенного на множителях и равна модулю вектора .

К определению

В качестве механической интерпретации векторного произведения может быть взят момент силы (постоянной по величине и направлению), приложенной к точке А относительно точки О. Вектор направлен так, что образует правую тройку с перемножаемыми векторами и численно равен величине Sinф.

Механическая интерпретация .

Справедливы следующие свойства векторного произведения.

С1.Для коллинеарных векторов и справедливо =0.

С2. = .

С3. = ).

Координатная форма вычисления . Пусть =a_x +a_y +a_z и =b_x +b_y +b_z . Тогда =(a_x +a_y +a_z )х(b_x +b_y +b_z ). Далее используем взаимное расположение векторов , , и свойство 3 получим по определению

a_xb_x х +a_yb_x х +a_zb_x х +a_хb_у х +a_уb_y х +a_zb_у х + +a_xb_z х +a_y b_z х +a_z b_z х = (a_хb_у-a_yb_x) +( a_zb_x- a_xb_z) +

+( a_y b_z - a_zb_у) = . Полученная символическая формула не противоречит ни свойствам определителя о смене знака при смене местами параллельных рядов, ни свойству векторного произведения о смене знака при смене порядка множителей. Из нее получается простое правило проверки коллинеарности векторов – равенство отношений (или пропорциональность координат).

Смешанное произведение векторов

Рассмотрим произведения трех векторов :

(( , ), ) – уже известное нам произведение скаляра на вектор – и потому ничего нового;

[[ , ], ] - двойное векторное произведение, которое имеет узкое приложение в механике;

([ , ], ) – векторно-скалярное (смешанное) произведение, которое имеет широкое применение в математике и приложениях.

Анализируя известное произведение [ , ] по Рис.2.2, можно получить геометрическую интерпретацию для смешанного произведения

([ , ], ). Модуль векторного произведения – площадь параллелограмма, построенного на векторах-множителях и равной = . Если теперь перемножить скалярно векторы и , то получим отрезок ОВ, равный высоте параллелепипеда, построенного на векторах-сомножителях , , как на ребрах. Т.о., модуль ([ , ], ) численно равен объему параллелепипеда, построенного на векторах множителях.

К определению ([ , ], )

Используя координатную форму векторного произведения, получаем координатную форму смешанного произведения

([ , ], )= ( с_x +с_y +с_z )=(( a_хb_у - a_yb_x ) +( a_zb_x- a_xb_z) +( a_y b_z - a_zb_у) ) ) ( с_x +с_y +с_z )=( a_хb_у - a_yb_x ) с_x +( a_zb_x- a_xb_z) с_y +( a_y b_z - a_zb_у) с_z = = .

Если в последнем определителе переставим местами 1-ю и 3-ю строки, то определитель не изменится и мы получим более удобную запись координат перемножаемых векторов в порядке их следования в произведении.

Из последней формулы для вычисления смешанного произведения следует возможность проверки компланарности (параллельности одной плоскости) трех векторов – если ([ , ], )=0, то векторы-множители компланарны. И следствием последнего равенства будет условие линейной зависимости трех векторов в пространстве.