Задание 4

Даны вершины треугольника А (1; 7), В ( 3; 4) и С (-2; -3). Найти: а) уравнение стороны (АВ); б) уравнение высоты (СН); в) уравнение медианы (АМ); г) точку пересечения медианы (АМ) и высоты (СН); д) расстояние от точки С до прямой (АВ).

Сделаем схематический рисунок треугольника АВС.

а) Уравнение стороны (АВ) запишем по формуле

Общее уравнение прямой (АВ):

б) Угловой коэффициент прямой (АВ) определим из ее уравнения, записав его в виде , т.е.

Тогда угловой коэффициент прямой определим из условия

Уравнение прямой (СН):

Общее уравнение высоты (СН):

в) Находим координаты точки М – середины отрезка [CB]

Уравнение медианы (АМ):

Общее уравнение медианы (АМ):

г) Точку пересечения медианы (АМ) и высоты (СН) получим, решив систему из уравнений этих прямых:

д) Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле

Расстояние от точки С (-2;-3) до прямой (АВ)

Построим в системе координат АВС, прямые (СН), (АМ), т. D.

 

Задание 5

Исследовать числовые ряды на сходимость.

а)

;

б)

;

в)

;

Решение:

а) Мы имеем ряд . Его члены положительны и убывают. Найдем к чему стремится его n-ый член при стремлении n к бесконечности:

.

Значит, необходимое условие сходимости ряда не выполняется и ряд расходится.

б) Мы имеем ряд . Его члены положительны и убывают. Найдем к чему стремится его n-ый член при стремлении n к бесконечности:

.

Значит, необходимое условие сходимости ряда выполняется и ряд может как сходиться, так и расходиться.

Исследуем данный ряд по предельному признаку сравнения, согласно которому два ряда сходятся или расходятся одновременно, если . Так как в числителе максимальная степень n равна 1, а в знаменателе – 2, то сравнивать будем с гармоническим рядом ( ). Найдем предел отношения общих членов исходного и гармонического рядов при стремлении n к бесконечности:

.

Таким образом, по предельному признаку сравнения, исходный ряд и гармонический сходятся или расходятся одновременно. Так как гармонический ряд расходится, то расходится и исходный ряд.

в) Мы имеем ряд . Его члены положительны и убывают. Так как в числителе общего члена ряда присутствует факториал, а в знаменателе степень, то при проверке стремления этого члена при стремлении n к бесконечности получим довольно сложный предел:

,

то вычислять его не будем.

Исследуем данный ряд на сходимость по предельному признаку Д’Аламбера: если , то при данный ряд сходится, при  ­– расходится, при  ­– требуется исследовать по другим признакам.

Поскольку , , то

.

Следовательно, данный ряд расходится.

Задание 6

При нахождении неопределенных интегралов следует использовать таблицу интегралов основных элементарных функций, свойства интегралов и формулу интегрирования по частям. Приведем некоторые формулы:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

Свойства:

1. 

2. 

Формула интегрирования по частям

или более кратко

Найти неопределенные интегралы:

1. 

2. 

3. 

Задание 7

Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями и . Выполнить рисунок.

Решение:  Найдем точки пересечения данных кривых:

, , .

Используя найденные точки и , построим фигуру, ограниченную линиями:  – парабола с вершиной и  – прямая. Воспользуемся формулой вычисления площади плоской фигуры , где  – уравнение верхней, а  – нижней границы области. В нашем случае, так как и , то

.

Ответ:   (кв. ед.).