Контрольная работа (группа ПС-1з)

Задание 1

Задание 2

Вычислить комплексное число. Ответ записать в алгебраической

форме.

2.1		2.6
2.2		2.7
2.3		2.8
2.4		2.9
2.5		2.10

Задание 3

 Решить систему линейных алгебраических уравнений двумя способами: 1) по формулам Крамера; 2) методом Гаусса.

3.1		3.2
3.3		3.4
3.5		3.6
3.7		3.8
3.9		3.10

Задание 4

Даны вершины треугольника АВС. Найти: а) уравнение стороны (АВ); б) уравнение высоты (СН); в) уравнение медианы (АМ); г) точку пересечения медианы (АМ) и высоты (СН); д) расстояние от точки С до прямой (АВ).

Вар.	4.1	4.2	4.3	4.4	4.5	4.6	4.7	4.8	4.9	4.10
А	(-7;-2)	(4;-4)	(-4;-2)	(0;2)	(4;-3)	(-4;2)	(-3;-2)	(-2;4)	(1;7)	(1;0)
В	(3;-8)	(8;2)	(8;-6)	(4;-4)	(7;3)	(6;-4)	(14;4)	(3;1)	(-3;-1)	(-1;4)
С	(-4;6)	(3;8)	(2;6)	(3;2)	(1;-16)	(4;10)	(6;8)	(10;7)	(11;-3)	(9;5)

Задание 5.

Исследовать сходимость числовых рядов

Вар.	а) un	б) un	Вар.	а) un	б) un
5.1			5.6
5.2			5.7
5.3			5.8
5.4			5.9
5.5			5.10

Задание 6

Найти неопределенные интегралы следующих функций:

6.1	а) ;	б)
6.2	а) ;	б)
6.3	а) ;	б)
6.4	а) ;	б)
6.5	а) ;	б)
6.6	а) ;	б)
6.7	а) ;	б)
6.8	а) ;	б)
6.9	а) ;	б)
6.10	а) ;	б)

Задание 7

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у=ах²+bх+с  и прямой у=kх+b. Сделать чертеж.

7.1 у = -х² + 4х - 1;      у = -х - 1.

7.2 у = х² - 6х + 7;       у = х + 1

7.3 у = -х² + 6х -5;       у = х - 5

7.4 у = х² - 6х + 7;       у = -х + 7

7.5 у =-х² + 6х - 5;       у = -х + 1

7.6 у = х² + 6х + 7;     у = х + 7

7.7 у = -х² - 6х - 5;       у = х + 1

7.8 у = х² + 6х + 7;     у = -х + 1

7.9 у = -х² - 6х - 6;       у = -х - 6

7.10 у = х² - 4х + 1;        у = х + 1

Задание 8. Найти пределы функций:

8.1	а)	б)
8.2	а)	б)
8.3	а)	б)
8.4	а)	б)
8.5	а)	б)
8.6	а)	б)
8.7	а)	б)
8.8	а)	б)
8.9	а)	б)
8.10	а)	б)

Задание 9

Найти производную следующих функций:

9.1	а)	в)
	б)
9.2	а)	в)
	б)
9.3	а)	в)
	б)
9.4	а) б)	в)
9.5	а)	в)
	б)
9.6	а)	в)
	б)
9.7	а)
	б)	в)
9.8	а)
	б)	в)
9.9	а)
	б)	в)
9.10	а)
	б)	в)

Задание 10. 

Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.

10.1		10.6
10.2		10.7
10.3		10.8
10.4		10.9
10.5		10.10

Решение типового варианта контрольной работы

Задание 2

Алгебраическая форма комплексных чисел :

где i - мнимая единица; a - действительная часть: bi - мнимая часть

Действия над комплексными числами :

     Если то:

Пример. Выполнить действия:

а) (2 + 3i)²; б) (3 – 5i)²; в) (5 + 3i)³;

Решение.

а) (2 + 3i)² = 4 + 2*2*3i + 9i² = 4 + 12i – 9 = – 5 + 12i; б) (3 – 5i)² = 9 – 2*3*5i + 25i² = 9 – 30i – 25 = – 16 – 30i; в) (5 + 3i)³ = 125 + 3*25*3i + 3*5*9i² + 27i³; так как i² = – 1, а i³ = – i, то получим (5 + 3i)³ = 125 + 225i – 135 – – 27i = – 10 + 198i.

г)

Задание 3

 Решить систему линейных алгебраических уравнений двумя способами: 1) по формулам Крамера;

2) методом Гаусса.

Решение: 1) По формулам Крамера решение системы находим в виде

, , ,

где  – основной определитель системы, а  – вспомогательные определители, получаемые из основного заменой i-го столбца столбцом свободных членов. При система имеет единственное решение. При решение следует искать другими методами.

Таким образом, имеем

.

Так как , то система имеет единственное решение. Найдем вспомогательные определители:

,

,

.

Тогда, , , .

2) Для решения системы методом Гаусса составляется расширенная матрица системы, с которой можно проводить следующие действия:

а) все элементы какой-либо строки умножать или делить на одно и то же число;

б) к элементам какой-либо строки прибавлять соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Суть метода состоит в том, что с помощью этих преобразований, расширенная матрица сводится к треугольному или диагональному виду. Переходя обратно, от полученной матрицы к соответствующей системе, легко находим ее решение. Достоинство этого метода в том, что с его помощью можно решить любую систему линейных уравнений.

Составим расширенную матрицу данной системы и проведем преобразования:

При первом переходе, к элементам второй и третьей строк прибавляли соответствующие элементы первой строки, умноженные на –2 и –1, соответственно. В результате получили в первом столбце первый элемент равный 1, а под ней все нули.

При втором переходе, к элементам третьей строки прибавляли соответствующие элементы второй строки, умноженные на –1. В результате получили во втором столбце третий элемент равный нулю. Матрица приобрела

треугольный вид. На этом прямой ход метода Гаусса закончен и можно перейти к системе, которая легко решается:

Но можно продолжить преобразования далее, получая нули и над элементами главной диагонали:

При первом переходе обратного хода метода Гаусса, элементы третьей строки разделили на 6, а затем к элементам первой и второй строк прибавляли соответствующие элементы полученной третьей строки, умноженные на –1 и 4, соответственно. В результате получили в последнем столбце последний элемент равный 1, а над ним все нули.

При втором переходе обратного хода метода Гаусса, элементы второй строки разделили на 3, а затем к элементам первой строки прибавляли соответствующие элементы полученной второй строки, умноженные на 1.

В результате получили все элементы главной диагонали равными 1, а остальные элементы равные нулю. Переходя к системе, получаем решение: