9

Тема

Числовые и степенные ряды Занятие 1. Знакоположительные ряды

1. Числовые ряды. Сходимость и расходимость

Основными, базовыми понятиями теории рядов являются понятия ряда, частичной суммы, сходимости.

Определение. Пусть задана бесконечная последовательность чисел:

u₁, u₂, u₃,. . . , u_n, . . .

Выражение u₁ + u₂ + u₃ +. . . + u_n+…, обозначаемое еще , называется бесконечной суммой или числовым рядом, а числа u₁, u₂, u₃,. . . , u_n, . . . его членами.

Определение. Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n-й частичной суммой ряда:

.

Рассмотрим последовательность частичных сумм

Если существует конечный предел этой последовательности:

,

то его называют суммой ряда и говорят, что данный ряд сходится, в противном случае – расходится.

В качестве примера числового ряда рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию. Выясним, при каких условиях сходится сумма членов геометрической прогрессии .

Решение

Сумма n первых членов геометрической прогрессии (т.е. частная сумма данного ряда) равна .

1). Если |q| < 1 (убывающая прогрессия), то , тогда существует и равен – формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

2). Если |q| > 1, то , т.е. не существует, значит, данный ряд расходится.

3). Если q = 1, то данный ряд имеет вид а + а + а +. . .+а + . . . .

В этом случае S_n = a  n: , ряд расходится.

4). Если q = – 1, то данный ряд имеет вид а – а + а – а + а –а + . . . .

В этом случае .

Следовательно, последовательность S_n вообще не имеет предела и поэтому ряд расходится.

Вывод: Таким образом, при рассмотрении любого числового ряда исследуют его на сходимость.

1. Остаток сходящегося ряда. Необходимое условие сходимости. Гармонический ряд

Определение. Выражение u_n+1 + u_n+2 + u_n+3 + . . ., обозначаемое R_n, называется остатком (остаточным членом) ряда . Очевидно, что каждый ряд можно представить в виде частичной суммы и остатка:

.

Причем R_n, в свою очередь, является числовым рядом, т. к. содержит бесконечное число слагаемых.

Заметим еще, что если ряд сходится, то легко показать, что и его

остаток сходится, т.е. на сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа первых слагаемых. При исследовании рядов одним из основных вопросов является вопрос о том, сходится ли данный ряд или расходится. Необходимый признак сходимости ряда определяется следующей теоремой.

Теорема 1. Если ряд сходится, то его n-й член стремится к нулю при неограниченном возрастании n.

Доказательство.

Пусть ряд u₁ + u₂ + u₃ +. . . + u_n + . . . сходится, т.е. имеет место равенство , где S - сумма ряда (т.е. конечное число), но тогда имеет место также равенство , т. к. при n   и n – 1  . Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем:

или , но S_n – S_n-–1 = u_n.

Следовательно, , что и требовалось доказать.

Следствие. Если n–й член ряда не стремится к нулю при n  , то ряд расходится.

Пример. Ряд расходится, т. к. .

Подчеркнем, что рассмотренный признак является только необходимым, но не является достаточным, т.е. из того, что n-й член ряда стремится к нулю, еще не следует, что ряд сходится, – ряд может и расходиться.

Гармоническим называется ряд вида

.

Выясним вопрос о сходимости гармонического ряда. Напишем подробнее гармонический ряд:

Напишем еще вспомогательный ряд:

(1)

Обозначим через сумму n первых членов гармонического ряда, через – частичную сумму вспомогательного ряда. Так как каждый член гармонического ряда не меньше соответствующего члена ряда (1), то > .

Посчитаем частичные суммы ряда (1) для значений n равных 2¹, 2², 2³, 2⁴, . . ., 2^k:

………………………………………………………………………

Таким образом, частичные суммы ряда (1) при достаточно большом k могут быть сделаны больше любого положительного числа, т.е. , но т.к. > , то , т.е. гармонический ряд расходится.

Примем без доказательства, что так называемый обобщенный гармонический ряд сходится, если р > 1 и расходится, если р  1.