Упражнения

1. Привести к каноническому виду уравнение поверхности:

Ответ: каноническое уравнение эллиптического цилиндра . Линейное преобразование переменных, приводящее к каноническому виду:

2. Привести к каноническому виду уравнение поверхности:

Ответ: каноническое уравнение однополостного гиперболоида . Линейное преобразование переменных, приводящее к каноническому виду

3. Привести к каноническому виду уравнение линии:

Ответ: каноническое уравнение параболы . Линейное преобразование переменных, приводящее к каноническому виду

4. Привести к каноническому виду уравнение поверхности:

Ответ: каноническое уравнение эллиптического параболоида . Линейное преобразование переменных, приводящее к каноническому виду

8.5. Положительно определенные квадратичные формы

Квадратичная форма от n переменных называется положительно определенной, если на любом ненулевом наборе значений переменных принимает положительные значения (AX,X)>0

С помощью этого критерия нельзя по коэффициентам установить положительно определена ли квадратичная форма. Ответ на такой вопрос дает другая теорема, для формулировки которой введем еще одно понятие. Главные диагональные миноры матрицы A = (a_ij) – это миноры, расположенные в ее левом верхнем углу:

a₁₁, , , …,

Теорема. Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все ее главные диагональные миноры положительны.

Квадратичная форма от n переменных называется отрицательно определенной, если на любом ненулевом наборе значений переменных принимает отрицательные значения (AX,X)<0

Теорема. Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда ее главные диагональные миноры имеют чередующиеся знаки, начиная со знака минус.