Зображення типових функцій

Оригінал f(t)	А	e-αt	sinωt	cosωt	shαt	chαt
Зображення  F(p)

 

Розрахунок операторних зображень струмів, напруг, потенціалів виконується так само, як і розрахунок кіл постійного струму із застосуванням будь-якого методу.

Зображення похідної й інтеграла

У курсі математики доводиться, що , то , де f(0) - початкове значення функції f(t).

Таким чином, для напруги на індуктивному елементі можна записати

або за нульових початкових умовах

.

Звідси опір котушки індуктивності у операторній формі

Z(p)=Lp.

Аналогічно для інтеграла: якщо , то .

З урахуванням ненульових початкових умов для напруги на конденсаторі можна записати:

.

Тоді

або за нульових початкових умов

,

звідки опір конденсатора у операторній формі

Z(p)=1/Cp.

Закон Ома в операторній формі

Нехай    маємо   деяку  вітку  т – п   (рис. 9.1),   виділену   з    деякого складного кола.

Рис. 9.1. Схема електричного кола

Замикання ключа в зовнішньому колі приводить до перехідного процесу, при цьому початкові умови для струму в вітці й напруги на конденсаторі в загальному випадку ненульові.

Для миттєвих значень змінних можна записати:

.

Тоді на підставі наведених вище співвідношень одержимо:

.

Звідси

(9.2)

де Z(p)=R+pL+ 1/Cp – операторний опір розглянутої ділянки кола.

Варто звернути увагу, що операторний опір Z(p) відповідає комплексному опору Z(jω) вітки в колі синусоїдного струму при заміні оператора р на jω.

Рівняння (9.2) є математичний запис закону Ома для ділянки кола із джерелом ЕРС в операторній формі. Відповідно до його для вітки на рис. 9.1 можна нарисувати операторну схему заміщення, представлену на рис. 9.2.

Рис. 9.2. Операторна схема заміщення

Закони Кірхгофа в операторній формі

Перший закон Кирхгофа:   алгебрична  сума  зображень  струмів, що сходяться у вузлі, дорівнює нулю

.

Другий  закон Кірхгофа:алгебрична сума зображень  ЕРС, що  діють у контурі, дорівнює алгебричній сумі зображень напруг на пасивних елементах цього контуру

.

При записі рівнянь по другому законі Кірхгофа варто пам'ятати про необхідність врахування ненульових початкових умов (якщо вони мають місце). З їхнім врахуванням останнє співвідношення може бути переписане в розгорнутому виді

.

ПРИКЛАД 9.1.

Записати вираз для зображень струмів у колі на рис. 9.3   для двох    випадків: ; .

Рис. 9.3

1. За нульових початкових умов вирази зображень струмів у колі після комутації відповідно до закону Ома знаходимо у вигляді:

, де

– зображення еквівалентного опору кола.

Тоді використовуючи правило чужого опору знаходимо зображення струмів у паралельному контурі:

і .

2. У випадку ненульових початкових умов ( ), для кола на рис. 9.3 варто скласти операторну схему заміщення, що наведена на рис. 9.4. Зображення струмів у ній можуть бути визначені будь-яким методом розрахунку лінійних кіл, наприклад, методом контурних струмів:

Рис. 9.4

Звідки струми у гілках кола: