1. Аперіодичний розряд конденсатора на котушку й резистор

Розглянемо процес розряду конденсатора на резистор R і котушку L. Якщо параметри контуру з резистора, котушки й конденсатора задовольняють умові

або ,

то корені характеристичного рівняння контуру дійсні, різні ( р₁ ≠ р₂), і від’ємні. У такому випадку напруга на конденсаторі описується рівнянням

,

де А₁ й А₂ – постійні інтегрування, які визначаються з початкових умов.

Вільний струм дорівнює

.

Сталі складові напруги на конденсаторі й струми дорівнюють нулю. Тому їхні перехідні значення дорівнюють вільним складовим:

.

Визначимо з початкових умов постійні інтегрування А₁ й А₂. При t = 0, , а i(0) = 0. Підставивши ці значення у вираз для перехідних напруг і струмів при t = 0 маємо

U₀ = A₁ + A₂; 0 = A₁ p₁ + A₂ p₂.

Звідси

A₁ = U₀ p₂ / (p₂ - p₁); A₂ = -U₀ p₁ / (p₂ - p₁);

З урахуванням початкових умов запишемо

.

Оскільки добуток коренів по теоремі Вієта: p₁p₂ = 1 / (LC), то, струм знаходимо у вигляді

.

Напруга на котушці

.

Рис. 8.14. Аперіодичні криві напруг та струму

Графіки залежності струму й напруги від часу, показані на рис. 8.14 дозволяють говорити про аперіодичний розряд конденсатора.

Аперіодичним називається такий розряд, при якому конденсатор увесь час розряджається, тобто функція u_С(t) є спадаючою, а струм i(t) не змінює свого напрямку, у нашому випадку він від’ємний.

Зробимо деякі висновки:

1. Аперіодичний розряд конденсатора в колі R, L, С виникає при дійсних, від’ємних і різних коренях характеристичного рівняння.

2. При аперіодичному розряді напруга на конденсаторі зменшується від початкового значення до нуля, а струм спочатку зростає по модулю, потім зменшується, проходячи через максимальне значення.

3. Напруга на котушці зменшується від початкового значення, проходить через нульове значення, змінюючи знак й, досягши найбільшого значення, зменшується до нуля.

2. Граничний аперіодичний розряд конденсатора на котушку й резистор

При наступному співвідношенні параметрів контуру з конденсатора, котушки й резистора

,

де R_кр – критичний опір резистора R, корені характеристичного рівняння контуру дійсні, рівні й від’ємні:

p₁ = p₂ = p = -R / (2L).

Перехідний процес виходить аперіодичним, але граничним з коливальним процесом. Перехідний струм і перехідна напруга в цьому випадку мають вигляд:

u_С = (A₁ + A₂ t) e^pt;

.

При початкових умовах u_С(0) = U₀; i(0) = 0 знаходимо:

А₁ = U₀; A₂ = -pU₀.

З урахуванням знайдених постійних інтегрування одержуємо розв’язок:

Залежності i(t), u_C(t), u_L(t) такі ж, як для аперіодичного розряду.

3. Періодичний розряд конденсатора на контур з резистором і котушкою

При співвідношенні параметрів контуру із конденсатора, котушки й резистора

, тобто при

де – критичний опір кола, корені характеристичного рівняння комплексно-спряжені:

,

де δ=R/(2L) – коефіцієнт загасання вільної складової;

– кутова частота власних коливань контуру;

– період власних коливань.

Оскільки , то можна ввести позначення

Розв’язок однорідного диференціального рівняння (8.3) при комплексно-спряжених коренях знаходимо у вигляді (відповідно до табл. 8.1):

,

для вільної складової струму маємо

.

З урахуванням початкових умов при , , з останніх двох рівнянь знаходимо константи інтегрування:

; .

і далі

.

Запишемо перехідні напруги й струм:

;

;

де ; .

Рис. 8.15. Залежності напруг та струму при коливальному характері перехідного процесу

Залежності перехідних напруги u_С й струму i показані на рис. 8.15. Вони являють собою загасаючі синусоїди. Швидкість загасання коливань оцінюють декрементом коливань. Декремент коливання – це постійна, залежна від параметрів R, L, С и рівна відношенню амплітуд перехідних параметрів, що відстають один від одного на період коливання Т₀, наприклад:

.

Часто користуються логарифмічним декрементом коливання:

.

У граничному випадку чисто консервативної системи (R = 0) Δ = 1 коливання в паралельно з'єднаних конденсаторі й котушці носять незатухаючий характер. Період цих коливань дається формулою Томпсона , а частота незатухаючих коливань .