Вмикання кола з резистором і конденсатором на синусоїдну напругу

Рис. 8.11. Схема вмикання RС навантаження до джерела синусоїдної напруги

Нехай напруга джерела змінюється за законом

.

Тоді вираз струму знаходимо у вигляді

.

Вимушена (стала) складова напруги на конденсаторі (рис. 8.11) дорівнює:

.

де: – повний опір кола;

– ємнісний опір;

– кут зсуву фаз між сталим струмом у колі й прикладеною синусоїдальною напругою.

Вільна складова напруги на конденсаторі

, .

Перехідна напруга на конденсаторі

Вважаючи, що , для постійної інтегрування одержимо

Остаточний вираз для напруги на конденсаторі можна записати у вигляді

Струм у колі

З отриманих виразів видно, що перехідний процес залежить від початкової синусоїдної напруги . Залежності перехідної напруги на конденсаторі від часу при різних величини показані на рис. 8.12.

а)	б)
в)	г)

Рис. 8.12. Часові діаграми перехідних напруг та струмів при заряді конденсатора від джерела синусоїдної напруги

Аналіз часових діаграм дозволяє зробити наступні висновки.

Якщо в момент вмикання , то перехідний режим не виникає, відразу встановлюється усталений режим (рис. 8.12, а). У випадку усталена напруга на конденсаторі в момент t = 0 дорівнює нулю. Таким чином, має місце повна відповідність між запасам енергії в конденсаторі до вмикання (у даному випадку нуль) та усталеним запасом енергії (в даному випадку теж нуль). Це пояснює відсутність перехідного режиму.

Якщо вмикання відбувається при (рис. 8.12, б), то вільна складова перехідної напруги буде мати найбільше значення і в початковий момент має значення . Якщо , то в початковий момент часу відбувається сильний сплеск струму, що значно перевищує амплітуду струму. Однак, тривалість цього сплеску незначна частина періоду оскільки .

Якщо в момент вмикання миттєве значення сталої напруги на конденсаторі має найбільше значення то перехідна напруга досягає максимального значення приблизно через половину періоду й може наблизитися до подвоєної амплітуди сталої напруги, але не перевищить його (рис. 8.12, в,г).

Розряд конденсатора на активно-індуктивне навантаження

Рис. 8.13. Коротке замикання у RLC колі

Нехай у колі, зображеному на рис. 8.13, конденсатор був заряджений до напруги u(0_-) = U₀. Проведемо аналіз процесів в контурі, утвореному резистором, конденсатором і котушкою після замикання ключа в момент t = 0. Оскільки джерела в колі відсутні, то сталі складові рішень дорівнюють нулю. Розв’язок буде складатися лише з однієї вільної складової.

Складання характеристичного рівняння. Визначення власних частот кола

За другим законом Кірхгофа для кола, зображеного на рис. 8.1, після комутації ( t ≥ 0) маємо:

.

Враховуючи те, що , одержуємо диференціальне рівняння другого порядку для вільної складової напруги

.

Характеристичне рівняння при цьому має вигляд:

Характер електромагнітних процесів у контурі залежить від співвідношення параметрів R, L, С, що входять у вираз для коренів характеристичного рівняння

. (8.5)

Залежно від знака підкореневого виразу корені можуть бути дійсними або комплексно-спряжені. Вони визначають характер вільних складових перехідних струмів і напруг.

Введемо позначення:

– коефіцієнт загасання вільної складової;

– резонансна частота

тоді .

В залежності від співвідношення між величинами R, L та С отрима­ємо три варіанти коренів характеристичного рівняння:

а) при δ>ω₀ корені будуть дійсними та різними, а перехідний процес – аперіодичним;

б) при δ=ω₀ одержимо два дійсних, однакових кореня p₁=p₂=-δ, що відповідає граничному аперіодичному режиму. Параметри кола, за яких відбувається цей режим, називаються критичними i між ними існує така залежність: ;

в) при δ<ω₀ корені p вийдуть комплексно-спряженими

, де ,

а перехідний процес матиме коливальний характер, в якому  характеризує згасання амплітуди коливань, а – їх частоту.