Коротке замикання в колі з резистором і котушкою

Рис. 8.2. Схема короткого замикання у RL колі

Виконаємо аналіз електромагнітних процесів у колі, зображеному на рис. 8.2, що відбуваються після замикання ключа.

Розрахуємо усталений режим у колі до комутації (до замикання ключа) і визначимо з нього незалежну початкову умову — струм у котушці в момент t = 0_-

.

Знайдемо усталений струм i після комутації. Оскільки в утвореному контурі з котушки L і резистора R немає джерела, то вимушена складова струму дорівнює нулю ( ).

Для визначення вільної складової струму запишемо за другим законом Кірхгофа рівняння електричного стану кола після комутації:

Характеристичне рівняння такого диференційного рівняння має вигляд:

.

Загальний розв’язок рівняння для вільної складової:

,

де А – постійна інтегрування;

, c^-1 – корінь характеристичного рівняння.

Корінь характеристичного рівняння p – це коефіцієнт загасання функції.

Записавши загальний вид перехідного струму котушки

i = i_вим + i_віл = Ae^pt,

прирівнюємо його значення i(0₊) = A у момент t =(0₊) до значення i(0_-), для одержання невідомих констант

i(0)= i_вим(0) + i_віл(0)

E / (R_вн + R) = 0 + A

A = E / (R_вн + R) = I₀.

Перехідний струм i = i_вим + i_віл при цьому дорівнює

де τ = L / R – стала часу кола.

Стала часу – це час, протягом якого вільна складова процесу зменшується в е = 2,72 раз в порівнянні з початковим значенням.

Визначимо е.р.с. самоіндукції котушки t ≥ 0

= – = – = – = –

У момент комутації ця ЕРС дорівнює напрузі на опорі R, а надалі зменшується за експоненційним законом.

Графік зміни перехідного струму та напруг показані на рис. 8.3.

а) б)

Рис. 8.3. Часові діаграми перехідних струму та напруг у RL колі

На підставі викладеного можна зробити наступні висновки:

1. При короткому замиканні в розглянутому колі струм у ній змінюється за експоненційним законом, зменшуючись від початкового значення до нуля.

2. Швидкість зміни струму визначається постійною часу кола , що дорівнює індуктивності котушки, діленої на активний опір кола.

3. Практично можна вважати, що перехідний процес закінчується при t ≈ (3...5)τ, коли первісне значення струму зменшується по модулю на порядок.

4. Напруга на котушці в початковий момент часу дорівнює напрузі на активному опорі:

.

5. З енергетичної точки зору розглянутий перехідний процес характеризується витратою енергії магнітного поля котушки на теплові втрати в резисторі. Слід зазначити, що опір резистора впливає не на кількість виділеної теплоти W, а на початкове значення струму через котушку й тривалість процесу. Оскільки після комутації кількість енергії W →0, струм до комутації – , після комутації його значення змінилось. Справді

.

Вмикання кола з резистором і котушкою на постійну напругу

Рис. 8.4. Схема вмикання RL навантаження до джерела постійної напруги

Перехідний струм у колі, зображеного на рис. 8.4, представимо у вигляді

.

 До комутації струму в котушці не було, отже,

.

 Стала складова струму після комутації

.

Вільна складова струму для кола, описуваної диференціальним рівнянням першого порядку

, де .

По початкових умовах визначимо постійну інтегрування А і вільну складову струму:

;

або

; ;

Перехідний струм

.

Напруга на котушці

.

Криві зміни струмів i, i_вим, i_віл і напруги на котушці u_L показані на рис. 8.5.

Рис. 8.5. Часові діаграми перехідних струму та напруг у RL колі

При вмиканні розглянутого контуру під постійну напругу струм у ньому наростає від нуля до сталого значення. Швидкість наростання струму

змінюється за експонентою з негативним показником. У момент t = 0 ця швидкість максимальна й дорівнює U / L [А/С], згодом вона падає практично до нуля, процес стає усталений.

В перший після комутації момент t = (0₊ ) струм у колі ще дорівнює нулю, і напруга на котушці максимальна , далі вона експоненціально зменшується до нуля.