Вирази вільних складових загального розв’язку

Корені характеристичного рівняння	Вирази вільної складової
Корені  дійсні й різні
Корені  дійсні і рівні
Корені комплексно-спряжені

Необхідно пам’ятати, що, оскільки в лінійному колі з часом вільна складова згасає, дійсна складова коренів характеристичного рівняння, не може бути позитивною.

При дійсних коренях вільна складова перехідної функції  монотонно згасає (при t→∞), і має місце аперіодичний перехідний процес. Наявність пари комплексно-спряжених коренів обумовлює появу загасаючих синусоїдних коливань (коливальний перехідний процес).

Оскільки фізично коливальний процес пов'язаний з періодичним обміном енергій між магнітним полем котушки індуктивності й електричним полем конденсатора, комплексно-спряжені корені можуть мати місце тільки для кіл, що містять обидва типи накопичувачів.

Швидкість загасання коливань прийнято характеризувати відношенням

яке називається декрементом коливання, або натуральним логарифмом цього відношення

,

називаним логарифмічним декрементом коливання, де

Важливою характеристикою при дослідженні перехідних процесів є постійна часу τ:

де р_min – мінімальний по абсолютному значенню корінь характеристичного рівняння.

У випадку коливального процесу (кола другого порядку) перехідна функція у загальному випадку записується рівнянням:

.

Тут δ і ω` – складові комплексно-спряжених коренів характеристичного рівняння (р<sub>1,2</sub>= –δ±ω`).

Швидкість загасання вільної складової рівняння залежить від показника δ. Постійну часу у випадку коливального режиму знаходимо як

.

Постійну часу можна інтерпретувати як часовий інтервал, протягом якого вільна складова зменшиться у порівнянні зі своїм початковим значенням в е разів. Теоретично перехідний процес триває нескінченно довго. Однак на практиці вважається, що він закінчується при .

Постійні інтегрування A₁, A₂ знаходять із початкових умов, які визначають за допомогою законів комутації.

Розрізняють незалежні й залежні (після комутаційні) початкові умови:

– незалежні початкові умови – значення струмів через індуктивності й значення напруг на ємностях, відомі з докомутаційного режиму роботи кола, які по законам комутації не змінюються стрибком

– залежні початкові умови – значення інших струмів і напруг при t = 0 у після комутаційній схемі, обумовлені незалежними початковими значеннями, які знаходяться із законів Кірхгофа для схеми після комутації.

Класичний метод розрахунку перехідних процесів у колах першого порядку

Класичний метод аналізу застосовують зазвичай для аналізу процесів у нескладних електричних колах.

Алгоритм розрахунку перехідного процесу класичним методом

Для аналізу перехідного процесу спочатку варто привести схему до мінімального числа накопичувачів енергії, виключивши паралельні й послідовні сполучення однотипних реактивних елементів (індуктивностей або ємностей). Система інтегродифференційних рівнянь, складених відповідно до законів Кірхгофа або методом контурних струмів, може бути зведена шляхом підстановки до одного диференціального рівняння, що використається для складання характеристичного рівняння.

Пам’ятаємо, що порядок диференціального, отже, і характеристичного рівняння залежить від числа реактивних елементів наведеної схеми. Головні труднощі у розв’язання задачі класичним методом для рівнянь високих порядків полягають у відшуканні коренів характеристичного рівняння й постійних інтегрувань. Тому для розв’язання рівнянь порядку вище другого застосовують інші методи, зокрема операторний метод, заснований на застосуванні перетворення Лапласа й виключаючий трудомістку процедуру відшукання постійних інтегрування.

Для загальних випадків рекомендований наступній порядок розрахунку перехідних процесів класичним методом у електричних колах:

• виконати розрахунок струмів у вітках з індуктивностями та напруг на ємностях в усталеному режимі до комутації (t<0);

• визначити напруги та струми в початковий момент перехідного процесу (в момент комутації тобто при t=0);

• розрахувати усталений режим після комутації та визначити вимушені складові перехідних струмів та напруг (t→∞);

• виконати розрахунок вільного режиму та визначити вільні складові перехідних струмів та напруг в залежності від коренів характеристичного рівняння. Для визначення коренів характеристичного рівняння та сталої часу післякомутаційну схему представляємо у вигляді пасивного двополюсника, при цьому розрив робимо у будь-якій вітці кола (бажано біля ємності), і знаходимо вхідний опір відносно точок розриву Z_вх(jω). Записуємо вираз для вхідного опору замінивши jω= р. Прирівнявши Z_вх(р) = 0 визначаємо корені характеристичного рівняння та сталу часу;

• записати загальні вирази для шуканих напруг і струмів, як суму вимушеної та вільної складових перехідної функції;

• визначити постійні інтегрування по початковим умовам;

• записати закони зміни шуканих струмів і напруг.