Конденсатори

Джерела електричної енергії зі сторонніми силами здатні роз'єднувати електричні заряди різних знаків, які накопичуються на електродах джерел. Значен­ня накопиченого заряду залежить від ЕРС джерела і геометричних розмірів електро­дів. Якщо до затискачів джерела (рис. 2.7) під’єднати металеві обкладки зі збільшеною поверхнею, то накопичений заряд збільшиться.

Рис. 2.7. Два електроди, до яких приєднано джерело енергії

Якщо між металевими тілами розташо­ваний ідеальний діелектрик, заряди на них зберігаються і після вимкнення джерела. Таку фізичну властивість металевих тіл використовують в електротехнічних при­строях, які називають конденсаторами. Конденсатори призначені для накопичення електричних зарядів і зосередження електричного поля в певній ділянці простору. Це два металевих тіла (обкладки), які розділені діелектриком. Вважається, що заряди на обкладках рівні за величиною і протилежні за знаком. Що за звичай відповідає дійсності.

Для кількісної характеристики зазначених властивостей конденсаторів введено поняття електричної ємності. Електрична ємність – це скалярна фізична величина, яка характеризує властивість конденсатора накопичувати та утримувати електричні заряди і чисельно дорівнює відношенню абсолютного значення заряду на одній з обкладок до напруги між обкладками:

(2.5)

У системі СІ одиниця електричні ємності називається фарада (Ф):

.

Найпростіший конденсатор – система із двох плоских провідних пластин, розташованих паралельно одна одній на малій в порівнянні з розмірами пластин відстані й розділених шаром діелектрика. Такий конденсатор називається плоским. Електричне поле плоского конденсатора в основному локалізовано між пластинами (рис. 2.8); однак, поблизу країв пластин й у навколишньому просторі також виникає порівняно слабке електричне поле, що називають полем розсіювання. У цілому ряді задач можна знехтувати полем розсіювання й вважати, що електричне поле плоского конденсатора цілком зосереджене між його обкладками (рис. 2.9). В інших задачах знехтування полем розсіювання може привести до грубих помилок, оскільки при цьому порушується потенціальний характер електричного поля.

Рис.2.8. Поле плоского конденсатора	Рис.2.9. Ідеалізоване подання поля плоского конденсатора. Без урахування крайового ефекту

Від чого залежить ємність? Розглянемо плоский конденсатор, площа обкладок якого і вони розділені діелектриком товщиною (рис. 2.10.). Діелектричну проникність діелектрика позначають .

Рис. 2.10. Плоский конденсатор

Припустимо, що між обкладками діє однорідне електричне поле. Таке поле утвориться, якщо між пластинами конденсатора діє постійна напруга і на пластинах накопичені однакові за величиною і протилежні за знаком заряди. Такі заряди створюють у діелектрику електричне поле з напруженістю , яке, нехтуючи крайовим ефектом, можна вважати однорідним.

Виходячи з теореми Гауса , визначаємо напруженість електричного поля в діелектрику:

(2.6)

Напруга між обкладками конденсатора, якщо шлях інтегрування проходить вздовж силової лінії 1-2:

.

Ємність плоского конденсатора:

(2.7)

Аналіз формули (2.7) веде до висновку, що ємність залежить від геометричних розмірів конденсатора. Якщо розміри конденсатора незмінні, а діелектрик ізотропний ( ), то ємність також постійна за значенням ( ); у супротивному випадку – змінна величина.

Формула (2.7) також вказує на можливі способи збільшення ємності конденсаторів:

• використання діелектриків з якнайбільшою діелектричною проникністю діелектрика ;

• збільшення площі обкладок;

• зменшення відстані між обкладками.

Прикладами конденсаторів з іншою конфігурацією обкладинок можуть служити сферичний і циліндричний конденсатори.

Сферичний конденсатор – це система із двох концентричних провідних сфер радіусів R₁ й R₂.

Циліндричний конденсатор – система із двох співвісних провідних циліндрів радіусів R₁ й R₂ і довжини L.

Ємності цих конденсаторів, заповнених діелектриком з діелектричною проникністю ε, виражаються формулами:

– для сферичного конденсатору;

– для циліндричного конденсатору.

Реальні елементи електричних кіл – конденсатори – з часом втрачають накопичену енергію, тобто мають втрати. На схемах заміщення конденсатори найчастіше подають ємністю і паралельно (рідше послідов­но) з'єднаним з нею опором. Ідеальний конденсатор – це безвтратний конденсатор, який характеризується тільки ємністю і на розрахункових схемах представлений ідеалізованим ємнісним елементом (рис. 2.10).

а) б)

Рис. 2.11. Умовне позначення лінійного та нелінійного конденсаторів (а) і їх кулон-вольтні характеристики (б)

Додатні напрямки напруги та струму на ємнісному елементі завжди обирають однаковими, щоб величина ємності була додатною.

Конденсатори можуть з'єднуватися між собою, утворюючи батареї конденсаторів. При паралельному з’єднані конденсаторів (рис. 2.12) напруги на конденсаторах однакові: U₁ = U₂ = U, а заряди рівні q₁ = С₁U й q₂ = C₂U. Таку систему можна розглядати як єдиний конденсатор з електричною ємності C, заряджений зарядом q = q₁ + q₂ при напрузі між обкладинками рівній U. Звідси витікає

Таким чином, при паралельному з’єднанні електричні ємності додаються.

Рис.2.12. Паралельне з’єднання конденсаторів. C = C1 + C2	Рис.2.13. Послідовне з’єднання конденсаторів.

При послідовному з’єднанні (рис. 2.13) однаковими є заряди обох конденсаторів: q₁ = q₂ = q, а напруги на них різні й . Таку систему можна розглядати як єдиний конденсатор, заряджений зарядом q при напрузі між обкладками U = U₁ + U₂. Отже,

або .

При послідовному з’єднанні конденсаторів додаються обернені величини ємностей.

Формули для паралельного й послідовного з’єднань при будь-якому числі конденсаторів, з'єднаних у батарею, приймають вигляд:

та .

Зв'язок між струмом та напругою у конденсаторі. Якщо до конденсатора прикласти змінну напругу , заряди на його обкладинках будуть змінюватися і в колі буде проходити струм . Цей струм (як струм провідності) проходить у провідниках кола, а враховуючи неперервність електричного струму, він повинен існувати і в діелектрику, між обкладинками конденсатора, що можливо лише у разі виникнення між обкладинками струму зміщення (див. лекцію 1):

.

Підставляючи в отриманий вираз формулу (2.5) отримаємо зв'язок між струмом та напругою на конденсаторі:

. (2.8)

Якщо до конденсатора прикладена постійна напруга , то . Відсутність струму в ємності у разі підведення до неї постійної напруги означає, що ємність в усталеному режимі чинить постійному струму нескінченний опір. Якщо до конденсатора прикладена синусоїдна напруга , то струм знаходимо у вигляді

.

Визначаючи напругу на конденсаторі, слід урахувати його початковий стан:

,

де – напруга на конденсаторі при .

Отже, .

Якщо ємність не мала початкового заряду, то .

Миттєву потужність та енергію накопичену в ємності, записують формулами:

(2.9)

, (2.10)

де – енергія електричного поля, що зосереджене в конденсаторі.

Енергія електричного поля конденсатора. Досвід показує, що заряджений конденсатор містить запас енергії. Енергія зарядженого конденсатора дорівнює роботі зовнішніх сил, яку необхідно затратити, щоб зарядити конденсатор.

Процес зарядки конденсатора можна представити як послідовний перенос досить малих порцій заряду Δq > 0 з однієї обкладки на іншу (рис. 2.14). При цьому одна обкладка поступово заряджається позитивним зарядом, а інша – негативним. Оскільки кожна порція переноситься в умовах, коли на обкладках уже є деякий заряд q, а між ними існує деяка різниця потенціалів , при переносі кожної порції Δq зовнішні сили повинні виконати роботу .

Енергія W_С конденсатора ємності C, зарядженого зарядом Q, може бути знайдена шляхом інтегрування цього виразу в межах від 0 до Q:

.

Рис.2.14. Процес зарядки конденсатора

Формулу, що виражає енергію зарядженого конденсатора, можна переписати в іншій еквівалентній формі, якщо скористатися співвідношенням Q = CU.

Електричну енергію W_С варто розглядати як потенціальну енергію, накопичену в зарядженому конденсаторі. За сучасними уявленнями, електрична енергія конденсатора локалізована в просторі між обкладками конденсатора, тобто в електричному полі. Тому її називають енергією електричного поля. Це легко проілюструвати на прикладі зарядженого плоского конденсатора.

Напруженість однорідного поля в плоскому конденсаторі дорівнює E = U/d, а його ємність . Тому

де V = Sd – об'єм простору між обкладками, зайнятий електричним полем. Із цього співвідношення випливає, що фізична величина

є електричною (потенціальної) енергією одиниці об'єму простору, у якому створене електричне поле. Її називають об'ємною щільністю електричної енергії.

Енергія поля, створеного будь-яким розподілом електричних зарядів у просторі, може бути знайдена шляхом інтегрування об'ємної щільності w_С по всьому об'ємі, у якому створене електричне поле.