8.2.4 Жорсткі диференціальні рівняння

Система звичайних диференціальних рівнянь

(8.44)

з незалежною від матрицею називається жорсткою, якщо , і відношення велике, де - власні числа матриці . Величина називається числом жорсткості. Якщо матриця залежить від , то і - залежать від , тоді вводиться змінне число жорсткості

і оперують з величиною на відрізку інтегрування.

Відмінною рисою жорстких систем є наявність у їхньому розв’язку як швидко, так і повільно спадних компонентів. При розв’язок системи практично визначається повільно спадним компонентом, однак, якщо скористатися явними різницевими методами, то швидко спадна складова буде негативно впливати на стійкість, і в результаті весь розрахунок необхідно вести з малим кроком інтегрування. При використанні ж неявних методів обмеження на крок зняті, і його величину визначають з умови досягнення потрібної точності, не хвилюючись особливо за стійкість.

При розв’язанні жорстких систем диференціальних рівнянь добре зарекомендував себе метод Гіра, що належать до чисто неявних багатокрокових різницевих методів, загальна формула яких виглядає так: ,

тобто розглядається частковий варіант методу (8.43), коли , а .

При і маємо , тобто неявний метод Ейлера. При і методи виглядають так:

, (8.45)

. (8.46)

Різницеве рівняння (8.45) має другий порядок точності, а (8.46) - третій. Щоб знайти область стійкості методу, варто записати аналогічні рівняння для диференціального рівняння (8.46). Наприклад, (8.45) набере вигляду

.

Відповідне характеристичне рівняння запишеться в такий спосіб:

. (8.47)

Потрібно визначити область комплексної площини , у точках якої обидва корені (8.47) за модулем менше одиниці. Виявляється, що ця область цілком розміщується у правій півплощині і метод (8.45) є стійким.

8.3 Метод скінченних різниць

Основний зміст методу можна легко пояснити на прикладі розв'язання задач в одновимірній області.

Рис. – 8.3

Виразимо похідну функції лінійною комбінацією значень цієї функції у визначених точках розглянутого проміжку зміни незалежних змінних, які називаємо вузлами. Існує кілька способів вираження похідної подібним чином. Наприклад, першу похідну функції у вузлі (рис. 8.3) можна виразити такими скінченними різницями (дивись розділ 6):

(8.48) (8.49) (8.50)

Відстань (крок) між вузлами беруть однаковою і формула (8.50) записується у вигляді

(8.51)

Другу похідну можна наближено виразити (мал. 8.3), застосовуючи формулу (8.51) при в такий спосіб:

(8.52)

Застосовується також формула для другої похідної, отримана на основі виразів (8.48), (8.49) для однобічних різниць (при ):

(8.53)

Розв'язання крайової задачі методом скінченних різниць зводиться до обчислення значень шуканої функції в обраних вузлах шляхом розв'язання відповідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Докладно розглянемо різницевий метод на прикладі крайової задачі для лінійного рівняння другого порядку з крайовими умовами першого роду

, (8.54)

, . (8.55)

Уведемо на [a,b] сітку , що для спрощення викладень будемо вважати рівномірною. Наближено виразимо другу похідну від розв’язку через значення розв’язку у вузлах сітки ; наприклад, скористаємося найпростішою апроксимацією

.

Таку апроксимацію можна записати в будь-якому вузлі сітки . Якщо підставити її в рівняння (8.54), то рівняння стане наближеним; точно задовольняти це рівняння буде вже не шуканий розв’язок , а деякий наближений розв’язок . Виконуючи цю підстановку і позначаючи і , одержимо

. (8.56)

Ця формула складається з N-1 алгебраїчного рівняння, а невідомими в ній є наближені значення розв’язку у вузлах сітки. Число невідомих дорівнює N+1, тобто воно більше, ніж число рівнянь (8.56). Відсутні два рівняння легко одержати з крайових умов (8.55):

(8.57)

У випадку використання граничних умов другого роду апроксимація проводиться за допомогою формул чисельного диференціювання першого порядку:

Розв’язуючи алгебраїчну систему (8.56), (8.57), знайдемо наближений розв’язок.

Як ілюстрацію проведемо повне дослідження розглянутого вище прикладу, додатково вимагаючи .

Спочатку розглянемо питання про існування різницевого розв’язку. Вихідна задача (8.54) була лінійною, різницева апроксимація (8.56)– теж лінійна. Завдяки цьому система (8.56,8.57) виявилася системою лінійних алгебраїчних рівнянь. Оскільки , то в матриці цієї системи діагональні елементи переважають: у кожному рядку модуль діагонального елемента більше суми модулів інших елементів, при цьому розв’язок лінійної системи існує і єдиний.

Обчислити розв’язок лінійної системи рівнянь завжди можна методом виключення Гауса. У даному випадку завдяки використанню триточкової апроксимації (8.54) система (8.56) має тридіагональну матрицю. Тому розв’язок доцільніше знаходити за допомогою різновиду методу Гауса – методом прогонки.

Щоб оцінити похибку наближеного розв’язку задачі, використовують інформацію, отриману в процесі чисельних розрахунків (такі оцінки називаються апостеріорними). Найефективнішими можна вважати оцінки з подвійним перерахунком.

Наявність наближених значень і , обчислених відповідно з кроками h і h/2, дає можливість зробити оцінку. Похибка методу – це , визначена в точці .

Отже, якщо , де М – невідомий коефіцієнт пропорційності, s – порядок точності методу, то

Виходить, для похибки в точці при визначенні розв’язку з кроком h маємо рівність , а при розв’язку з кроком h/2 – рівність

. (8.58)

Знайшовши різницю між наведеними вище рівностями і розв’язавши отриману рівність відносно невідомого коефіцієнта М, визначимо

.

Підставивши це значення М у формулу (8.58), одержимо . Звідси для абсолютної похибки в точці остаточно одержимо таку рівність:

.

Таку оцінку абсолютної похибки методу називають, як відомо, правилом Рунге.

Зупинимося на стійкості розрахунку. Якщо , то задача Коші для рівняння (8.54) погано обумовлена, причому, чим більше p(x), тим гірша її стійкість. А з оцінки (8.58) видно, що похибка нашого різницевого розв’язку при великих p(x) мала. Звідси виходить, що добре побудовані різницеві схеми не чуттєві до нестійкості задачі Коші. У випадку, коли , не виконується достатня умова збіжності ітераційного процесу для систем лінійних алгебраїчних рівнянь, однак у практичних обчисленнях дана обставина, як правило, виявляється несуттєвою і не викликає складностей в одержанні розв’язку.