Формула вычисления угла между прямой и плоскостью

Если в пространстве заданы направляющий вектор прямой L

s = {l; m; n}

и уравнение плоскости

Ax + By + Cz + D = 0,

то угол между этой прямой и плоскостью можно найти используя формулу

sin φ =	| A · l + B · m + C · n |
	√A2 + B2 + C2 · √l2 + m2 + n2

Вывод формулы для вычисления угла между прямой и плоскостью

Из уравнения прямой можно найти направляющий вектор прямой

s = {l; m; n}

Из уравнения плоскости вектор нормали плоскости имеет вид

q = {A; B; C}

Из формул скалярного произведения векторов найдем косинус угла между нормалью к плоскости и направляющим вектором прямой

cos ψ =	| q · s |
	| s | · |q |

Так как φ = 90° - ψ, то синус угла между прямой и плоскостью sin φ = cos ψ.

Расписав скалярное произведение векторов и модуль векторов через их координаты, получим формулу для вычисления угла между прямой и плоскостью.

Смотрите также: Онлайн калькулятор. Угол между прямой и плоскостью.

Пример вычисления угла между прямой и плоскостью

Пример 1.

 Найти угол между прямой

x - 4	=	y + 2	= -	z - 6
2		6		3

и плоскостью x - 2y + 3z + 4 = 0.

Решение.

Из уравнения прямой найдем направляющий вектор прямой

s = {2; 6; -3}

Из уравнения плоскости найдем вектор нормали плоскости

q = {1; -2; 3}

Воспользовавшись формулой, найдем угол между прямой и плоскостью

sin φ =	| 2 · 1 + 6 · (-2) + (-3) · 3 |	=
	√22 + 62 + (-3)2 · √12 + (-2)2 + 32

sin φ =	| 2 - 12 - 9 |	=	19	=	19
	√4 + 36 + 9 · √1 + 4 + 9		√49 · √14		7√14

Ответ:

sin φ =  19 7√14

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90^o.

рис. 37	Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости. Говорят также, что плоскость   перпендикулярна к прямой а.
рис. 38	Если прямая а перпендикулярна к плоскости  , то она, очевидно, пересекает эту плоскость. В самом деле, если бы прямая а не пересекала плоскость  , то она лежала бы в этой плоскости или была бы параллельна ей. Но в том и в другом случае в плоскости   имелись бы прямые, не перпендикулярные к прямой а, например прямые, параллельные ей, что невозможно. Значит, прямая а пересекает плоскость  .

Связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.

рис. 39

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

рис. 40

Теорема. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Замечания.

1. Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой, и притом единственная.

2. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

3. Если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны.