Обратные тригонометрические функции

 

Определения. Многозначность и главные значения

обратных тригонометрических функций.

 

 

Соотношение x = sin y  позволяет найти как  x  по заданному  y, так и  y  по заданному x ( при | x |  1 ). Таким образом, можно рассматривать не только синус как функцию угла, но и угол – как функцию синуса. Этот факт может быть записан как:  y = arcsin x ( “arcsin” читается “арксинус” ).Например, вместо 1/2 = sin 30 можно записать: 30arcsin 1/2. При второй форме записи угол обычно представляется в радианах:   6  = arcsin1/2.

 

Определения. arcsin x – это угол, синус которого равен  x. Аналогично определяются функции arccos x, arctan x, arccot x, arcsec x, arccosec x. Эти функции являются обратными по отношению к функциям  sin x, cos x, tan x, cot x, sec x, cosec x, поэтому они называются обратными тригонометрическими функциями. Все обратные тригонометрические функции являются многозначными функциями, то есть каждому значению аргумента соответствует бесчисленное множество значений функции. Так, например, углы 30, 150, 390 510750имеют один и тот же синус.

Главное значение arcsin x – это его значение, которое находится между  2  и  +  2  (  90 и  + 90 ), включая границы:

 

–   / 2     arcsin x     +   / 2 . 

 

Главное значение arccos x – это его значение, которое находится между 0  и     ( 0 и  + 180 ), включая границы:

 

  0     arccos x       .

 

Главное значение arctan x – это его значение, которое находится между  2  и  +  2  (  90 и + 90 ) без границ:

 

–   / 2  <  arctan x  <  +   / 2 .

 

Главное значение arccot x – это его значение, которое находится между 0  и     ( 0 и  + 180 ) без границ:

0  <  arccot x  <    .

 

Если обозначить любое из значений обратных тригонометрических функций через  Arcsin x,  Arccos x,  Arctan x,  Arccot x  и сохранить обозначения: arcsin x, arcos x, arctan x, arccot x для их главных значений, то связь между ними выражается следующими соотношениями:

где  k – любое целое число. При  k = 0  мы имеем главные значения.

Назад

Параллельность прямой и плоскости

Прямая и плоскость могут пересекаться или быть параллельными друг другу. Еще один случай — прямая лежит в плоскости.

Прямая параллельна плоскости, если она не имеет с плоскостью общих точек.

Это определение. Сложность только в одном — как на практике проверить, что бесконечная прямая нигде не пересечет бесконечную плоскость? Для практического применения используется признак параллельности прямой и плоскости:

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости.

Этот признак часто используется в решении задач по стереометрии. Например, в правильной четырехугольной пирамиде SABCD прямая АВ параллельна прямой СD — значит, АВ параллельна всей плоскости SCD.

Параллельные плоскости – основные сведения.

Дадим определение параллельных плоскостей.

Определение.

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Для обозначения параллельности используется символ « ». Таким образом, если плоскости   и   параллельны, то можно кратко записать  .

Обычно две параллельные плоскости на чертеже изображаются в виде одинаковых параллелограммов, смещенных относительно друг друга.

Отметим, что если плоскости   и   параллельны, то также можно сказать, что плоскость  параллельна плоскости  , или плоскость   параллельна плоскости  .

Представление о параллельных плоскостях позволяют получить, к примеру, плоскость потолка и пола. Противоположные грани куба лежат в параллельных плоскостях.

К началу страницы