Исследование тригонометрических функций

I. 

1) Область определения —  .

2) Множество значений —  .

Доказательство. Множество значений функции   есть множество ординат точек числовой окружности.

3) Функция строго возрастает на любом промежутке вида  ,  , строго убывает на любом отрезке вида  ,  .

Доказательство. Пусть   — две точки такого промежутка,  .

Следовательно,  .

4) График — синусоида.

5)   — главный период.

6) Корни  .

II. 

1) Область определения —  .

2) Множество значений —  .

Доказательство. Множество значений функции   есть множество абсцисс точек числовой окружности.

3) Функция строго убывает на любом промежутке вида  ,  , строго возрастает на любом отрезке вида  ,  .

Доказательство. Пусть   — две точки такого промежутка,  .

Следовательно,  .

4) График — синусоида.

5)   — главный период.

6) Корни  .

III. 

1) Область определения —  .

2) Множество значений —  .

Лемма.

Рис. 44

Если точка   не лежит на оси ординат, то точка пересечения прямой   с прямой   имеет координаты  .

Доказательство. Воспользуемся рисунком (см. рис. 44). Опустим из точки   перпендикуляр на ось  . Пусть он пересечет ось   в точке  . Треугольники   и   подобны. Координаты точки   —  , точки   —  . Отсюда

Определение. Прямая   называется линией тангенсов.

Рис. 45

Воспользуемся рисунком (рис. 45). Пусть  . Докажем,что   является значением тангенса. Для этого найдем на линии тангенсов точку   с ординатой   и обозначим через   какую-либо точку пересечения прямой   с числовой окружностью. Пусть  . Тогда  .

3) Функция строго возрастает на любом промежутке вида  ,  .

Доказательство. Пусть   — две точки такого промежутка,  .

Если   четно, то  . Если   нечетно, то  .Следовательно,    .

4) График — тангенсоида.

5)   — главный период.

6) Корни тангенса совпадают с корнями синуса.

На рис. 46 приведен график функции  .

Рис. 46

На рис. 47 приведен график функции  .

Рис. 47

Основные тригонометрические функции и их свойства Синус

Синусом числа а называется ордината точки, изображающей это число на числовой окружности. Синусом угла в а радиан называется синус числа а.

Синус - функция числа x. Ее область определения - множество всех чисел, так как у любого числа можно найти ординату изображающей его точки.

Область значений синуса - отрезок от -1 до 1, так как любое число этого отрезка на оси ординат является проекцией какой-либо точки окружности, но никакая точка вне этого отрезка не является проекцией какой-либо из этих точек.

Период синуса равен    . Ведь через каждые   положение точки, изображающей число, в точности повторяется.

Знак синуса:

1. синус равен нулю при   , где n - любое целое число;

2. синус положителен при  , где n - любое целое число;

3. синус отрицателен при 

, где n - любое целое число.

Синус - функция нечетная. Во-первых, область определения этой функции есть множество всех чисел, а значит,   симметрична относительно начала отсчета. А во-вторых, если отложить от начала два противоположных числа: x и -x, то их ординаты - синусы - окажутся также противоположными. То есть  для любого x.

1. Синус возрастает на отрезках  , где n - любое целое число.

2. Cинус убывает на отрезке   , где n - любое целое число.

 при  ;

 при  .