Основные положения и теоремы алгебры логики
Порядок выполнения логических операций
Если в выражении скобок нет, то первой выполняется инверсия, второй – логическое умножение, а затем все остальные операции по порядку слева направо. Если черта (знак инверсии) стоит над совокупностью аргументов и знаков, то инверсия выполняется в последнюю очередь. Если в выражении имеются скобки, то как и в обычной алгебре, сначала выполняют действия в скобках.
В процессе преобразования функции используют теоремы алгебры логики.
Основные теоремы для одной переменной следуют из определения функции и имеют вид
1 - x v 0 = x; 2 - x v 1 = 1; 3 - x v x = x;
4
- x v
= 1; 5 - x
0 = 0; 6 - x
1 = x;
7
- x
x = x; 8 - x
= 0; 9 -
= x
Проверить теоремы можно подстановкой х = 0 и х = 1.
Одним из основных положений в алгебре логики является принцип двойственности (теорема де Моргана).
Запишем таблицы истинности операций "ИЛИ" и "И", расположив строчки "И" в обратном (сверху вниз) порядке:
"ИЛИ" "И"
0 v 0 = 0 1 1 = 1
0 v 1 = 1 1 0 = 0
1 v 0 = 1 0 1 = 0
1 v 1 = 1 0 0 = 0
Сравнив построчно операции "ИЛИ" и "И", можно заметить, что если заменить в строках "ИЛИ" и "И" все 0 на 1, а все 1 на 0 и знаки дизъюнкции на знаки конъюнкций, то значение функций поменяется местами: строка "ИЛИ" превращается в строку "И" и наоборот. В этом и состоит принцип двойственности, который алгебраически записывается в следующем виде:
для двух переменных:
_______ __ __ _______ __ __
а) x1 v x2 = x1 x2 или б) x1 x2 = x1 v x2
при любом числе переменных:
______________ __ __ __
а) x1 v x2 v x3v ... = x1 x2 x3 ...
____________ __ __ __
б) x1 x2 x3 ... = x1 v x2 v x3 ...
Необходимо отметить, что эти теоремы (как и последующие) остаются справедливыми и для случая, если под х понимать не только одно переменное, но и целое выражение.
Теоремы для двух и более переменных
10. Переместительный закон:
а) х1 v х2 = х2v х1;
б) х1 х2 = х2 х1.
Переместительный закон означает, что выходной сигнал в логических элементах не зависит от того, к какому входу подведен тот или иной сигнал.
11. Сочетательный закон:
а) х1 v х2 vх3 = х1 v (х2 v х3) = (х1 v х2) v х3;
б) х1 х2 х3 = х1 (х2 х3) = (х1 х2) х3.
12. Распределительный закон:
а) х1 (х2 vх3) = х1 х2 v х1 х3;
б) х1 v х2 х3 = (х1 v х2) (х1 v х3).
Теоремы 10, 11, 12а очевидны и совпадают с правилами обычной алгебры, а 12б требуют доказательства.
Используя принцип двойственности, запишем 12а в следующем виде (заменяя все переменные на их отрицания, а знаки сложения и умножения друг на друга):
_ _ _ _ _ _ _
х1 v х2 х3 = (х1 v х2) (х1 v х3) . (5.5)
_ _ _
Обозначив х1 = z1; х2 = z2; х3 = z3 и подставив в (5.5),
получим z1 v z2 z3 = (z1 v z2) (z1 v z3), а это и есть 12б
13. Закон поглощения:
а) х1 v х1 х2 = х1; б) х1 (х1 v х2) = х1.
Доказательство 13а. Выносим х1 за скобки:
х1 х1 х2 = х1 (1 v х2).
Используя теоремы 2 и 6 - 1 v х2 = 1, х1 ^ 1 = х1,
Получаем х1 v х1 х2 = х1.
13б следует из принципа двойственности.
14. Закон склеивания:
__ __
а) х1 х2 v х1 х2 = х2; (х1 v х2) (х1 v х2) = х2
Доказательство 14а. Выносим х2 за скобки и, используя теоремы 4 и 6, запишем:
__ __
х1 х2 v х1 х2 = х2(х1 v х1) = х2 1.
14б следует из принципа двойственности
15. Закон обобщенного склеивания:
__ __
а) (х1 v х2) х2 = х1 х2 ; б) х1 х2 v х2 = х1 v х2
Упрощение (минимизация) булевых функций производится на основании теорем 1-15 и принципа двойственности. Наиболее эффективными приемами являются вынесение общих членов за скобки, применение двойного отрицания, законов поглощения и склеивания. Рассмотрим простейший пример минимизации:
__ __
F(x1, x2) = x1 x2 v x1 x2 v x1 x2.
Выносим х1 за скобки и, используя теоремы 4 и 15б, получим
__ __ __
F(x1, x2) = x1 x2 v x1 (х2 v х2) = х2 х1 v х1 = x1 v x2.
Схемы неупрощенного и упрощенного выражений и таблица истинности приведены на рисунке 5.7
X1 |
X2 |
Y |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
а б в
а – функция до преобразования; б после преобразования;
в – таблица истинности
Рисунок 5.7 – Пример упрощения логической функции