Темы исследовательских работ

Бесполезно говорить:

«Мы делаем все, что можем».

Надо сделать то, что необходимо!

У. Черчилль

Всегда выбирайте самый трудный путь

– там не встретите конкурентов.

Шарль де Голль

Граница России проходит

через каждый компьютер,

подключенный к Интернет!

Белые Хакеры

Первые 9 задач школьные, правда, некоторые из них весьма трудные. Следующие 15 задач тоже вполне по силам школьникам, т.к. не используют специальных знаний.

Все остальные вопросы могут стать основой доклада, реферата, обзора, курсовой работы, выпускной работы, проекта, магистерской диссертации, кандидатской диссертации, докторской диссертации, даже делом всей жизни!

Это не вопросы, а целые направления. Очень актуальные в наше время.

Нужно выбрать свое направление или несколько направлений, близких вашим склонностям, и накапливать знания и навыки, чтобы через 2 года стать Знатоком, через 5 лет Специалистом, через 10 лет уникальным специалистом – Гуру и Мастером.

Задачи для школьников

(начиная с задачи № 10 для всех)

1. Рассмотреть треугольник, состоящий из высот исходного треугольника. При каких условиях на исходный треугольник существует треугольник из высот. Как площадь высотного треугольника связана с площадью исходного. Рассмотреть высотный треугольник высотного треугольника и т.д.

2. Предыдущий вопрос для треугольника из биссектрис. Для справки, треугольник из медиан всегда существует и его площадь равна ¾ площади исходного треугольника.

3. Найти все треугольники, если они существуют, у которых площадь является средним геометрическим площадей вписанной и описанной окружностей.

4. Найти все треугольники, если они существуют, у которых периметр является средним арифметическим длин вписанной и описанной окружностей.

5. Найти все четырехугольники, если они существуют, у которых площадь является средним геометрическим площадей вписанной и описанной окружностей.

6. Найти все четырехугольники, если они существуют, у которых периметр является средним арифметическим длин вписанной и описанной окружностей.

7. Найти все треугольники, у которых стороны и площади являются целыми числами.

8. Найти все четырехугольники, у которых стороны и площади являются целыми числами.

9. Вычисление структуры полугруппы, порожденной функциями: - модуль, целая часть, дробная часть, знак числа.

10. Применение логарифмов Якоби при решении алгебраических уравнений в конечных полях.

11. Функция Эйлера от натурального числа n равна количеству натуральных чисел, меньших n и не имеющих с n общих делителей. Пусть - десятичная запись числа n. Назовем число n «дьявольским», если . Найти все дьявольские числа. Название связано с тем, что .

Решить эту задачу для 3-й, 5-й и 16-ричной систем счисления.

12. Алгоритм решения квадратных уравнений в конечных полях.

13. Гипотеза Коллатца (поставлена в 1937 г), вычислительные аспекты.

Комментарий. Берем натуральное число n. Если оно четное, то делим его на 2 до тех пор, пока оно не станет нечетным. Пусть при этом получится m. Заменяем n на 3m+1. Полученное число опять делим на 2 и т.д. Доказать, что каково не было исходное число всегда в итоге получится 1. Задача до сих не решена. В силу простоты формулировки ею занимаются сотни энтузиастов, иногда забросив все остальные дела. На суперкомпьютерах проверены очень большие числа. В августе 2009 г. запущен проект добровольных распределенных вычислений «Collatz Conjecture» - официальный сайт http://boinc.thesonntags.com/collatz/.

14. Моделирование вычислений средствами конечных автоматов и машин Тьюринга с использованием программы JFLAP Version 7.0.

15. Нахождение плотных n-к большого порядка.

16. Связь структуры плотных n-к и кодов, исправляющих ошибок.

17. Векторные пространства, порожденные векторами плотных и предплотных n-к.

18. Вычисление плотности плотных n-к при больших n.

19. Создание базы данных плотных и предплотных n-к.

20. Выяснение структуры графа вложений плотных n-к.

21. Автоморфизмы графа вложений плотных и предплотных n-к.

Комментарий. Плотная n-ка - это n простых чисел, расположенных на отрезке минимально возможной длины. Рожков А.В. ввел плотные n-ки в 2012 г. Оказалось, что в 1999 г. под названием k-tuplet их ввел T.Forbes. Поиском плотных n-к сейчас занимаются сотни людей в разных странах, часто с использованием суперкомпьютеров. На 15.10.2014 найдены плотные n-ки только до n = 20 включительно.

22. Пусть p- нечетное простое число, - p-мерное пространство. Найти все минимальные множества L векторов, с координатами из 0 и 1, такие, что каждый вектор из V, ортогонален, хотя бы одному вектору из L.

Комментарий. Трудная, не решенная до сих пор задача, важная для комбинаторики и теории Бернсайдовых групп «Примеры Бернсайдовых групп до сих пор производят впечатление лунного грунта» (известный ученый Ю.И. Мерзляков).

23. Пусть S(n) – сумма цифр целого числа n. Проверить для чисел меньших миллиона, что выполняется неравенство , где n! – факториал числа,

т.е. .

Комментарий. Задача двойственная знаменитой формуле Стирлинга . Задача не решена, поскольку связь числа с суммой цифр в его записи крайне прихотлива и мало исследована. Задача предложена Рожковым А.В. в 2012 г.

24. Пусть S(N) – сумма цифр целого числа N. Число N называется совершенным, если S(N) = N. Числа N и S(N) называются дружественными, если . Существуют ли обобщения совершенных и дружественных чисел, такие, что , где k = 3,4,… Известно, что при k = 4,5 такие числа есть.

Комментарий. Задача имеет двухтысячелетнюю историю и до сих пор не решена.