Случайные величины

График для дискретной СВ – ступенчатая линия, точки разрыва которой совпадают с возможными значениями СВ.

В точках разрыва функция имеет скачок, равный соответствующей вероятности _.

1.3. Заполнить пропуски

Свойства функции распределения :

1. Все значения функции распределения принадлежат отрезку ………, т. е.

2. Функция распределения является неубывающая, т.е. если , то выполняется неравенство

3. Функция распределения в точке непрерывна слева, т.е.

и

1.4. Проанализировать приведенное решение задачи и заполнить пропуски

Задача 1. Задают ли законы распределения дискретной СВ следующие таблицы?

а)

Решение.

Таблица задает закон распределения, т. к. выполняется равенство : .

б)

Решение.

Таблица задает закон распределения, т. к. выполняется равенство : геометрический ряд вида ,

т.к. , то ряд сходится и его сумма равна , т.е. .

в)

Решение.

г)

Решение.

Задача 2. Дискретная СВ имеет закон распределения:

1. Найти вероятности , , если известно, что в 4 раза больше .

2. Построить многоугольник распределения.

Решение.

Должно выполняется равенство : .

По условию . Значит, .

.

, следовательно .

В прямоугольной системе координат строим точки , , , , .

Ломанная является многоугольником распределения данной СВ:

Указания к решению задач.

Анализ и решение задач, в которых требуется составить таблицу распределения вероятностей случайной величины, рекомендуется делать по следующей схеме:

1. Установите, что является СВ в рассматриваемой задаче.

2. Перечислите все возможные значения СВ.

3. Найдите вероятности появления возможных значений СВ:

в частности, если возможно, то из условия задачи установите закон распределения вероятностей СВ и используйте соответствующую формулу для нахождения вероятности появления возможных значений СВ.

4. Составьте таблицу распределения вероятностей СВ и проверьте, что .

Задача 3. Испытуемый прибор состоит из трех малонадежных элементов. Отказы элементов за некоторое время независимы и их вероятности соответственно равны 0,1; 0,2; 0,3. Найти закон распределения числа элементов, отказавших за время .

Решение.

СВ – число элементов, отказавших за время , значит может принять значения: .

Найдем вероятности того, что отказавших элементов прибора за время :

1) нет отказавших элементов, т.е. все элементы работают: и первый, и второй, и третий – событие .

Пусть событие означает, что - ый элемент работает, а событие – - ый элемент отказал.

Тогда, используя операции над событиями, получим .

С учетом того, что отказы элементов независимы, имеем: .

По условию задачи известно, что ; ; .

Тогда

;

Таким образом,

2) один элемент отказал, т.е. откажет первый элемент, а второй и третий работают или откажет второй элемент, а первый и третий работают, или откажет третий элемент, а первый и второй работают – событие .

Пусть событие означает, что - ый элемент работает, а событие – - ый элемент отказал.

Тогда используя операции над событиями, получим

Итак, с учетом того, что отказы элементов независимы, а предложенные варианты отказа одного элемента не могут произойти одновременно, то имеем:

3) два элемента, т.е. первый элемент работает, а второй и третий отказали или второй элемент работает, а первый и третий отказали, или работает третий элемент, а первый и второй отказали – событие .

Пусть событие означает, что - ый элемент работает, а событие – - ый элемент отказал.

Тогда используя операции над событиями, получим

Итак, с учетом того, что отказы элементов независимы, а предложенные варианты отказа двух элементов не могут произойти одновременно, то имеем:

4) все три элемента, т.е. все элементы отказали: и первый, и второй, и третий – событие .

Пусть событие означает, что - ый элемент работает, а событие – - ый элемент отказал.

Тогда используя операции над событиями, получим .

Итак, .

Напишем искомый закон распределения:

Контроль

Задача 4. В партии 10% нестандартных деталей. Наугад отобраны 4 детали.

1. Написать закон распределения дискретной СВ – числа нестандартных деталей среди четырех отобранных .

2. Построить многоугольник полученного распределения.

Решение.

СВ – число нестандартных деталей среди четырех отобранных, значит множество возможных значений .

Найдем вероятности возможных значений , пользуясь формулой Бернулли .

Вероятность появления нестандартной детали в каждом случае равна 0,1.

Найдем вероятности того, что среди отобранных деталей:

1) нет нестандартных.

2) одна нестандартная.

3) две нестандартные детали.

4) три нестандартные детали.

5) четыре нестандартных детали.

.

Напишем искомый биномиальный закон распределения:

Контроль

Построим многоугольник распределения.

Задача 5. В урне 10 шаров, из которых 8 белых. Из этой урны наудачу извлекаются 2 шара; СВ – число извлеченных белых шаров. Найти закон распределения дискретной СВ .

Решение.

СВ – число извлеченных белых шаров среди двух отобранных, значит имеет следующие возможные значения:

Найдем вероятности возможных значений , пользуясь формулой ,

где — число всех шаров, из которых — белые шары; — число отобранных шаров, a — число белых шаров, оказавшихся в выборке.

.

Получили гипергеометрическое распределение:

Контроль

Задача 6. Составить ряд распределения вероятностей случайного числа очков, выпавших на верхней грани игрального кубика при одном подбрасывании, построить многоугольник распределения.

Решение.

СВ – число очков, выпавших при одном подбрасывании кубика, значит имеет следующие возможные значения:

Найдем вероятности возможных значений , пользуясь формулой ,

где — все возможные значения СВ, — количество возможных значений СВ.

Запишем искомое равномерное распределение:

Контроль

Построим многоугольник распределения:

Задача 7. Составить ряд распределения вероятностей случайного числа страниц с опечатками, если проверяемая книга насчитывает 800 страниц, а вероятность того, что на странице могут оказаться опечатки, равна 0,0025.

Решение.

СВ – число страниц с опечатками, т.е. имеет следующие возможные значения: _.

Событие - появление страницы с опечатками. Получается, что производится большое количество повторных независимых испытаний - , в каждом из которых событие имеет очень малую вероятность .

Тогда для вычисления вероятности, что событие появится ровно раз, можно воспользоваться формулой ,

- параметр распределения Пуассона, которым приближенно заменяется биномиальное распределение.

Контроль : принимая во внимание разложение функции в степенной ряд и вытекающего отсюда равенства , получаем

.

Задача 8. Закон распределения: дискретной СВ задан следующей таблицей:

Найти функцию распределения СВ и построить ее график.

Решение.

Найдем :

Функция распределения в нашем случае имеет вид:

.

Если то .

Если , то .

Если , то .

Если , то

Если , то .

Итак,

График функции :

1.5. Решить задачу

Задача 9. С помощью характеристических свойств выясните, является ли функцией распределения случайной величины.

а) б)

Решение.

Задача 10. Составить ряд распределения случайной величины, если задана функция распределения данной дискретной случайной величины:

Решение.

Задача 11. Имеются 6 билетов в театр, 4 из которых на места первого ряда. Наудачу берут 3 билета.

1. Составить ряд распределения вероятностей числа билетов первого ряда, оказавшихся в выборке.

2. Найти и построить функцию распределения.

3. Построить многоугольник полученного распределения.

4. Найти значение при .

5. Найти вероятность события .

Решение.

Задача 12. Подбрасывается два игральных кубика, подсчитывается число очков, выпавших на обеих верхних гранях.

1. Найти закон распределения дискретной случайной величины – суммы выпавших очков на двух игральных кубиках.

2. Найти вероятность события .

Решение.

Задача 13. Набрасываются кольца на колышек либо до первого попадания, либо до полного израсходования всех колец, число которых равно пяти.

1. Составить закон распределения вероятностей случайного числа брошенных колец, если вероятность набрасывания кольца на колышек при каждом испытании постоянна и равна 0,9.

2. Найти вероятность события .

Решение.

Задача 14. Завод отправил на базу 500 доброкачественных изделий. Вероятность повреждения каждого изделия в пути равна 0,002. Найдите закон распределения случайной величины, равной числу поврежденных изделий.

Решение.