Тема 4. Оцінки параметрів розподілу. Статистичні гіпотези

Вивчіть гл. 16-17, 19 підручника Гмурмана, звертаючи особливу увагу на розв’язання типових прикладів. Розберіть розв’язання типових задач 17-21 з даного посібника. Після цього приступайте до розв’язання завдань 117-154 контрольної роботи.

Довірчі інтервали

Якщо генеральна сукупність має нормальний розподіл з математичним сподіванням і дисперсією , то довірчий інтервал, який накриває невідоме середнє з ймовірністю , визначається нерівністю ,

де – вибіркове середнє стандартне відхилення, n – об’єм вибірки, а число t – визначається за таблицею (Гмурман, додаток 3).

Довірчий інтервал, який накриває невідоме середнє квадратичне відхилення з ймовірністю визначається нерівністю , де число q – визначається за таблицею (Гмурман, додаток 4).

Задача 17.

Побудуємо за вибіркою Х довірчі інтервали для генерального середнього і середнього квадратичного відхилення з ймовірністю , вважаючи розподіл генеральної сукупності нормальним.

Розв’язання:

За таблицею , тому гранична похибка вибіркового середнього і довірчий інтервал для генерального середнього ознаки Х з ймовірністю = 0,95 має вигляд:

або

За таблицею тому довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення ознаки Х з ймовірністю = 0,95 має вигляд:

або

Нехай проведено n незалежних випробувань за схемою Бернуллі, в кожному з яких з невідомою ймовірністю р може з’явитися деяка подія А. Точковою оцінкою ймовірності р є відносна частота появи події А: w_n=m/n. Кінці довірчого інтервалу (р₁, р₂), який накриває справжнє значення р з ймовірністю розраховують за формулами:

, де , а параметр t знаходять із рівності Ф(t)= . Якщо n – дуже велике число (порядку сотень або тисяч)

.

Задача 18.

Було проведено ряд дослідів кидання монет, у яких підраховувалась кількість появ герба (подія А). У двох останніх стовпчиках таблиці наведені довірчі інтервали для ймовірності герба.

Дослідник	n	wn
Буфон	4040	0,5069	0,4915-0,5223	0,4866-0,5272
Пірсон (1)	12000	0,5016	0,4927-0,5105	0,4898-0,5134
Пірсон (2)	24000	0,5005	0,4942-0,5068	0,4922-0,5088

Наприклад, для з рівності Ф(t) = 0,95/2 = 0,475 за таблицею (Гмурман, додаток 2) маємо t = 1,96. Тоді для n = 4040 .

Отже,

Перевірка гіпотез про дисперсії

Нехай ( ) і дві незалежні вибірки з генеральних сукупностей з нормальним розподілом з невідомими середніми і дисперсіями

і , відповідно. За їх величиною висунемо гіпотезу про рівність генеральних дисперсій проти альтернативної гіпотези . Критерій будується за допомогою статистики , яка обчислюється як відношення більшої вибіркової дисперсії до меншої. Вона має розподіл Фішера з і степенями свободи. Задамо рівень значимості і за вибіркою обчислимо фактичне значення статистики , а за таблицею (Гмурман, додаток 7) знаходимо критичну точку розподілу Фішера > 1. Якщо > , то основна гіпотеза відхиляється, якщо < ,то немає підстав відхилити основну гіпотезу.

Перевірка гіпотез про середні

Нехай ( ) і дві незалежні вибірки з генеральних сукупностей з нормальним розподілом з невідомими середніми і невідомими, але однаковими дисперсіями За їх величиною висунемо гіпотезу про рівність середніх проти альтернативної гіпотези Критерій будується за допомогою статистики:

Вона має розподіл Ст’юдента з степенями свободи. Задамо рівень значимості і за вибіркою обчислимо фактичне значення статистики , а за таблицею (Гмурман, додаток 6) знаходимо двосторонню критичну точку розподілу Ст’юдента . Якщо > , то основна гіпотеза відхиляється, якщо < , то немає підстав відхилити основну гіпотезу.

Задача 19.

Порівнювали вагу дорослих індичок двох порід після однакового відкорму. За вибірками одержали такі показники:

. За рівнем значимості перевіримо гіпотезу про рівність середніх проти альтернативної гіпотези .

Розв’язання:

Спочатку перевіримо гіпотезу про рівність дисперсій проти альтернативної гіпотези . Обчислимо значення статистики , як відношення більшої вибіркової дисперсії до меншої. За таблицею (Колемаєв, табл. 10) для =0,05 і кількості степенів свободи

k₁ = 25-1 = 24 і k₂ = 20-1=19, знаходимо критичну точку розподілу Фішера Оскільки < , то немає підстав відхилити гіпотезу про рівність дисперсій.

Тепер перевіримо гіпотезу про рівність середніх. Обчислимо фактичне значення статистики: .

За таблицею (Гмурман, додаток 6) для =0,05 і кількості степенів свободи знаходимо односторонню критичну точку розподілу Ст’юдента . Оскільки > , то гіпотезу про рівність середніх відхиляємо. Можна вважати, що середня вага індичок першої породи менша за середню вагу індичок другої породи.

Перевірка гіпотез про долі

Нехай у двох генеральних сукупностях проводяться незалежні випробування, в кожному з яких може з’явитися деяка подія А (успіх). Позначимо невідому ймовірність успіху в першій сукупності р₁, а в другій – р₂. З першої сукупності взята вибірка об’ємом n₁, в якій було m₁ успіхів. За їх величиною висунемо гіпотезу про рівність ймовірностей проти альтернативної гіпотези Критерій будується за допомогою статистики: . Вона має стандартний нормальний розподіл . Задамо рівень значимості і за вибіркою обчислюємо фактичне значення статистики . Двосторонню критичну точку стандартного нормального розподілу знаходимо з рівності Ф( ) . Якщо > , то основна гіпотеза відхиляється, якщо

< , то немає підстав відхилити основну гіпотезу.

Задача 20.

Дослідження крипторхізму виявило, що серед 20 синів одного барана крипторхів виявилося 5, а у іншого барана серед 30 синів їх було 6. З’ясуємо, чи можна вважати, що доля крипторхів в усьому потомстві першого барана більше, ніж у потомстві другого.

Розв’язання:

Позначимо р₁ ймовірність народження крипторхів в усьому потомстві першого барана, а р₂ – відповідну ймовірність для другого барана. За умовою ; ; . Оскільки , то за рівнем значущості =0,05 перевіримо гіпотезу проти гіпотези .

Обчислимо фактичне значення статистики:

.

Односторонню критичну точку стандартного нормального розподілу U_кр знаходимо з рівності P(U>U_кр) = або . За таблицею функції Лапласа U_кр = 1,65. Оскільки , то немає підстав відхилити гіпотезу про рівність ймовірностей.

Критерій згоди Пірсона

Якщо висунута гіпотеза, що генеральна сукупність ознаки Х має конкретний розподіл, то цей розподіл називається теоретичним. Критерієм згоди називають критерій перевірки гіпотези про розподіл генеральної сукупності.

Розглянемо критерій згоди Пірсона. За вибіркою оцінюють параметри теоретичного розподілу і обчислюють теоретичні ймовірності р_і , що ознака Х набуде значення з і-го інтервалу варіаційного ряду, частота якого n_і. Знаходять теоретичні частоти і обчислюють статистику . Ця статистика має – розподіл з степенями свободи,

де m – кількість інтервалів, r – кількість параметрів теоретичного розподілу, які оцінено за вибіркою. Частота кожного інтервалу, як вибіркова так і теоретична, повинна бути не менше 5. Інтервали, частота яких менше 5, треба об’єднати з сусідніми інтервалами.

Для заданого рівня значущості і кількості степенів свободи k за таблицею (Гурман, додаток 5) знаходять критичне значення . Якщо , то висунуту гіпотезу про розподіл генеральної сукупності відхиляють. Якщо , то немає підстав відхилити висунуту гіпотезу.

Задача 21.

Перевіримо гіпотезу про нормальний розподіл ознаки Х за критерієм Пірсона для рівня значущості .

Розв’язання:

Розрахуємо теоретичні частоти нормального розподілу, вважаючи параметри розподілу відомими і рівними їх оцінкам за вибіркою: . Теоретичні ймовірності р_і попадання випадкової величини Х в інтервали ( дорівнюють , де Ф(х) – функція Лапласа, а кінці інтервалів обчислені за формулами , причому найменше значення, тобто z_l, покладаємо рівним , а найбільше – рівним . Тоді теоретичні частоти дорівнюють .

Результати обчислень зведемо до таблиці:

i	xi	xi+1	zi		Ф( )	Ф( )	рі	n’i
1	54	57,00		-1,69	-0,5000	-0,4545	0,0455	3,55
2	57,00	60,00	-1,69	-1,17	-0,4545	-0,3790	0,0755	5,89
3	60,00	63,00	-1,17	-0,65	-0,379	-0,2422	0,1386	10,67
4	63,00	66,00	-0,65	-0,13	-0,2422	-0,0517	0,1905	14,86
5	66,00	69,00	-0,13	0,39	-0,0517	0,1517	0,2034	15,87
6	69,00	72,00	0,39	0,9	0,1517	0,3186	0,1669	13,02
7	72,00	75,00	0,91	1,43	0,3186	0,4236	0,1050	8019
8	75,00	78,00	1,43	1,95	0,4236	0,4744	0,0508	3,96
9	78,00	81,00	1,95		0,4744	0,5000	0,0256	2,00
							1,0000	78,01

Нанесемо теоретичні частоти на полігон частот

Перевіримо висунуту гіпотезу за критерієм Пірсона для рівня значущості . Обчислимо значення , для чого складемо розрахункову таблицю 8, де об’єднані два перших і два останніх інтервали, частота яких менше 5.

i	ni	n’i
1	5	3,55
2	6	5,89	0,259
3	11	10,67	0,010
4	9	14,86	2,310
5	15	15,87	0,001
6	20	13,02	3,744
7	6	8,19	0,586
8	3	3,96	0,154
9	2	2,00
			7,06

За вибіркою оцінювали два параметри нормального розподілу: і , тому кількість степенів свободи .

Для рівня значущості і степенів свободи за таблицею (Гмурман, додаток 5) знаходимо критичне значення = 9,5. Оскільки < , то гіпотезу про нормальний розподіл генеральної сукупності не відхиляємо.