Тема 3. Вибірковий метод

Вивчить гл. 15 підручника Гмурмана, звертаючи особливу увагу на розв’язання типових прикладів. Розберіть розв’язання типових задач 15-16 з даного посібника. Після цього приступайте до розв’язування завдань 97-116 контрольної роботи.

Генеральна сукупність і вибірка. Варіаційні ряди

Генеральною сукупністю називається сукупність усіх значень деякої ознаки об’єктів. Звичайно досліджують не всю генеральну сукупність, а лише деякі її об’єкти. Результати вимірювання ознаки Х цих об’єктів утворюють вибірку з генеральної сукупності. Головною задачею математичної статистики є дослідження генеральної сукупності статистично, тобто виявлення властивостей генеральної сукупності за вибіркою з неї.

Для наочності, за вибіркою складають варіаційний ряд. Це – таблиця, в першому стовпчику якої записані у зростаючому порядку різні варіанти значень вибірки х_і, а в другому – частоти n_i появи цих значень у вибірці.

Для складання варіаційного ряду треба:

1. знайти найменше (x_min) і найбільше (x_max) значення вибірки;

2. у перший стовпчик таблиці записати варіанти значень вибірки у зростаючому порядку, починаючи з x_min і закінчуючи x_max;

3. підрахувати, скільки разів зустрічається кожний варіант.

Якщо кількість різних варіантів велика, то дані групують: складають інтервальний варіаційний ряд. Для цього інтервал значень варіаційного ряду (x_min, x_max) розбивають на m інтервалів однакової довжини h = (x_max – x_min)/m. Кількість груп визначають за формулою Стерджеса , або наближеною формулою (для n < 100). Для вибірки з неперервної генеральної сукупності складають тільки інтервальний варіаційний ряд.

Під час складання інтервального варіаційного ряду вважають, що початок інтервалу входить до нього, а його кінець – не входить.

Кореляційна таблиця

Для двовимірної вибірки складають кореляційну таблицю. Варіанти або інтервали значень однієї ознаки Х записують у перший рядок кореляційної таблиці, а варіанти або інтервали іншої ознаки

Y – в її перший стовпчик. Для кожної пари значень позначають точкою клітинку кореляційної таблиці, в яку вона попадає. Підраховують кількість пар n_xy, які попали в кожну клітинку. Сумуючи числа n_xy по рядках і стовпчиках, одержують частоти n_x і n_y. Об’єм вибірки можна одержати за допомогою однієї з сум У кореляційній таблиці можуть залишитися порожні клітинки. Це означає, що у вибірці відсутні відповідні значення ознак X і Y.

Графіки варіаційних рядів

Використовують два види графіків варіаційних рядів: полігон і гістограму. Якщо варіаційний ряд складений за значеннями, то будують полігон. Для цього з’єднують відрізками точки, координатами яких є варіанти x_i і їх частоти n_i.

Для інтервальних варіаційних рядів будують гістограми. Для цього над кожним інтервалом значень будують прямокутник, висота якого дорівнює

. Для інтервальних варіаційних рядів можна будувати і полігон. Для цього за значення х_і слід взяти середини інтервалів.

Задача 15.

За вибіркою Х складемо варіаційний ряд, побудуємо полігон і гістограму.

73	70	57	60	61	59	62	56	66	64
69	67	71	56	62	64	70	58	65	73
72	60	66	71	63	79	70	70	69	71
72	63	76	68	71	77	65	59	72	70
65	80	70	66	65	78	70	68	73	68
67	71	68	60	70	66	63	69	74	68
56	74	74	70	70	63	63	63	68	55
70	68	68	69	63	69	67	70

Розв’язання:

Об’єм вибірки Х великий (n = 78), а також велика кількість різних варіантів

вибіркових значень, тому складемо інтервальний варіаційний ряд.

За вибіркою знаходимо x_min = 55, x_max = 80. Розмах вибірки становить

x_max – x_min = 80 – 55 = 25. Якщо поділити інтервал (x_min, x_max) на проміжків, то їхні кінці не будуть цілими числами, за початок першого інтервалу візьмемо число 54, а за кінець останнього – 81, тоді довжина інтервалів дорівнює Складемо інтервальний варіаційний ряд.

інтервал	ni	ni/n	ni/(nh)
54..57	5	0,064	0,021
57..60	6	0,077	0,026
60..63	11	0,141	0,047
63..66	9	0,115	0,038
66..69	16	0,205	0,068
69..72	20	0,256	0,085
72..75	6	0,077	0,026
75..78	3	0,038	0,013
78..81	2	0,026	0,009
	78	1,000	0,333

На графіках відкладаємо вздовж горизонтальної осі середини інтервалів, а вздовж вертикальної осі – значення частот для полігона або значення щільності відносних частот для гістограми.

Мал. 1. Полігон частот вибірки Х.

Мал. 2. Гістограма відносних частот вибірки Х.

Вибіркові числові характеристики

Вибіркове середнє визначається за формулами

або , х_і­­ – вибіркові значення, n – її об’єм.

Якщо складений варіаційний ряд, то в останній формулі х_і­ – середини інтервалів.

Вибіркова дисперсія визначається за формулами

або

Остання оцінка знижує значення дисперсії генеральної сукупності. Для оцінки дисперсії, незсуненої для вибірок малого об’єму, використовують виправлену вибіркову дисперсію .

Вибіркове стандартне або середнє квадратичне відхилення визначається як квадратний корінь із виправленої дисперсії .

Метод умовних варіант

Для спрощення обчислень рівновіддалені варіанти заміняють умовними варіантами, які визначаються рівностями , де С – уявний нуль (варіанта розташована посередині варіаційного ряду). Потім обчислюють умовні початкові моменти

Тоді

Задача 16.

Для вибірки Х обчислимо вибіркове середнє, вибіркову і виправлену дисперсію.

Розв’язання:

Складемо розрахункову таблицю, де за уявний нуль вибрано варіанту С = 67,5.

xi	ni	ui	uini	u2ini
55,5	5	-4	-20	80
58,5	6	-3	-18	54
61,5	11	-2	-22	44
64,5	9	-1	-9	9
67,5	16	0	0	0
70,5	20	1	20	20
73,5	6	2	12	24
76,5	3	3	9	27
79,5	2	4	8	32
	78		-20	290

Обчислимо умовні вибіркові моменти: Тоді вибіркове середнє дорівнює , а вибіркова дисперсія дорівнює , а вибіркове стандартне відхилення .