Тема 2. Випадкові величини

Задача 10.

Щільність розподілу випадкової величини Х має вигляд:

1. знайти коефіцієнт С;

2. скласти функцію розподілу.

Розв’язання:

Обчислимо інтеграл:

За властивістю щільності розподілу 2С/3 = 1, тому с = 1,5. Якщо х -1, то

Якщо -1 < х 1, то

Якщо х > 1, то

Отже, функція розподілу має вигляд:

Математичне сподівання

Задача 11.

Обчислити математичне сподівання випадкової величини Z = 3X – 2Y, якщо випадкова величина Х має розподіл

Х	0	1
Р	0,7	0,3

а щільність розподілу випадкової величини Y має вигляд:

Розв’язання:

Обчислимо математичне сподівання випадкової величини Y.

Математичне сподівання випадкової величини Х дорівнює М (Х) = За властивостями математичного сподівання маємо:

Початковим моментом k-го порядку (k N) випадкової величини називається число _k, яке дорівнює математичному сподіванню її k-го степеня М(Х^k). Для дискретної випадкової величини для неперервної випадкової величини

Дисперсія

Задача 12.(продовження задачі 11).

Знайдемо дисперсію випадкової величини Я = 3Х – 2Y, якщо X i Y – незалежні випадкові величини.

Розв’язання:

Спочатку обчислимо дисперсію випадкової величини Y:

D(Y) = M(Y²) – (M(Y))² = 0,6

Дисперсія випадкової величини Х дорівнює D(X) = M(X²) – (M(X))² = 0,3 – (0,3)² = 0,21. За властивостями дисперсії маємо

Середнім квадратичним (або стандартним) відхиленням випадкової величини називається число, яке дорівнює квадратному кореню з її дисперсії:

Нормальний розподіл

Задача 13.

Можна вважати, що значення електричного опору елемента мають нормальний розподіл і зосереджені на інтервалі (2,72; 2,84). Елемент вважається відмінної якості, якщо його опір становить не менше 2,75 і не більше 2,8. Знайти відсоток опорів відмінної якості серед усіх виготовлених.

Розв’язання:

За правилом трьох сигм , звідки Можна вважати, середнє значення опору дорівнює середині інтервалу можливих значень Тоді ймовірність опору відмінної якості становить:

Отже опорів відмінної якості серед всіх виготовлених приблизно 77,5%.

Теорема Ляпунова

Якщо Х_і, – незалежні однаково розподілені випадкові величини зі скінченою дисперсією, от для великих n можна вважати, що суми

S_n = X₁ +...+ X_n мають нормальний розподіл, математичне сподівання і дисперсія якого в n разів більші за відповідні числові характеристики однієї випадкової величини. Цей факт разом з відповідними умовами називається теоремою Ляпунова.

Задача 14.

Норма висіву на 1 га складає 150 кг. Фактичні витрати насіння на 1 га коливаються навколо цього значення. Випадкові коливання характеризуються середнім квадратичним відхиленням 10 кг.

Визначити:

а) ймовірність, що витрати насіння на 100 га не перевищать 15,1 т;

б) кількість насіння, яке забезпечить засів 100 га з ймовірністю 0,95.

Розв’язання:

Позначимо х_і – фактичні витрати насіння на і-му гектарі (

Це – незалежні однаково розподілені випадкові величини із числовими характеристиками М(Х_і) = 150 кг =0,15 т, кг = 0,01 т. За наслідками з теореми Ляпунова можна вважати, що фактичні витрати насіння на 100 гектарах S₁₀₀ = X₁ +...+ X₁₀₀ мають нормальний розподіл, математичне сподівання і дисперсія яких у 100 разів більші за відповідні числові характеристики однієї випадкової величини.

т

т².

Тоді середнє квадратичне відхилення становитиме т.

а) ймовірність, що витрати насіння на 100 га не перевищать 15,1 т становить:

б) кількість насіння , яке забезпечить засів 100 га з ймовірністю 0,95 задовольняє умову За формулою для ймовірності попадання нормальної випадкової величини в заданий інтервал маємо:

Розв’яжемо відносно х рівняння Ф(х) + 0,5 = 0,95.

Маємо х = Ф^-1(0,45). За таблицею (Гмурман, додаток 2) знаходимо

Ф^-1(0,45) = 1,645. Тоді або т.