Елементи комбінаторики

А, В, С… - множини, елементи множини А число елементів множини - множина.

Правило суми. Якщо деякий об’єкт а можна вибрати т способами, а об’єкт способами, причому ніякий вибір а не збігається з жодним з виборів то один з об’єктів (а або ) можна вибрати способами.

Ø, то

Правило добутку. Якщо об’єкт а можна вибрати т способами і при кожному виборі об’єкта а об’єкт в можна вибрати п способами, то вибір пари можна здійснити способами.

Приклади

1. Нехай від пункту А до пункту В є т доріг, з А до С – п доріг, з В до доріг, з С до доріг, В і С між собою і дорогами не сполучені. Скількома дорогами можна потрапити з А до ?

2. У їдальні є 3 перших страви, 5 других і 2 третіх страви. Скількома способами можна скласти з них обід? 30.

3. Скільки двоцифрових чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6? 36.

4. Скільки трицифрових чисел можна утворити з цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, якщо всі цифри утвореного числа повинні бути різними? 120.

5. У школі навчається 1200 учнів. Довести, що принаймні двоє з них мають однакові ініціали.

Упорядкована множина – якщо в ній встановлено відношення порядку що має такі властивості: або (а передує ), або

• якщо то (транзитивність).

Вибір відношення в даній множині називають її впорядкуванням.

Нехай є п множиною, Розміщення з п елементів по к – будь-яка впорядкована К-підмножина множини М.

Теорема 1. Для будь-яких натуральних чисел ( має місце

6. Скільки треба мати словників, щоб можна було безпосередньо робити переклади з будь-якої із 5 мов – російської, української, англійської, німецької, французької – на будь-яку іншу з них.

Перестановки з п елементів – розміщення з п елементів по п.

Теорема 2. Число перестановок з п елементів дорівнює добутку всіх натуральних чисел від 1 до п

7. Десять друзів зайшли до ресторану. Хазяїн ресторану запропонував їм приходити до нього щодня і кожного разу сідати по-різному: після того, як усі способи розміщення будуть вичерпані, їх годуватимуть у ресторані безкоштовно. Коли настане цей день? ~ через 9942 р.

8. Скількома способами можна розсадити 5 учнів на 12 місцях? 95040 .

9. Скількома способами можна зробити триколірний прапорець з горизонтальними смугами однакової ширини, якщо є тканина 6 різних кольорів? Якщо один з кольорів мав бути червоним?

10. Скількома способами можна із 30-ти учнів класу обрати старосту, фізорга і редактора стінгазети? 24350.

11. Скількома способами можна присудити 1-3 місця на змаганнях, в яких беруть участь 15 чоловік?

12. У шаховому турнірі беруть участь 7 людей. Скількома способами можуть розподілитись місця між ними?

13. Скількома способами можна скласти список із 8 учнів?

Нехай М є п – множиною Комбінація з п елементів по к називають будь-яку к-підмножину множини М.

Теорема 3. Для будь-яких натуральних має місце

14. На зборах присутні 30 осіб. Скількома способами можна обрати президію зборів у складі з 3 осіб?

Теорема 4. Для будь-яких натуральних чисел п і маж місце і

Теорема 5. Число всіх підмножин п-множини дорівнює 2^п.

Трикутник Паскаля для біномних коефіцієнтів:

15. Скількома способами можна вибрати три фарби з п’яти різних фарб?

16. З 52 делегатів конференції треба обрати президію з 5 чоловік і делегацію з 3 чоловік. Скількома способами можна здійснити вибір, якщо: а) члени президії можуть входити до складу делегації; б) члени президії не повинні входити до складу делегації. а) б)

17. На шкільному вечорі присутні 12 дівчат і 15 юнаків. Скількома способами можна вибрати з них 4 пари для танців?

18. Рота складається з 3 офіцерів, 6 сержантів і 60 рядових. Скількома способами можна виділити з них загін, що складається з: а) 1 офіцера, 2 сержантів? ; б) до такого ж загону повинен увійти командир роти і старший із сержантів?

19. Скількома способами можна групу із 15 учнів поділити на 2 так, щоб в одній групі було 11 учнів, а в другій – 4 учні?

20. Скількома способами із 20 шахістів можна утворити 2 команди по 10 чоловік?

21. Скількома способами можна 15 шахістів поділити на 3 команди по 5 чоловік?

22. Із 10 різних квітів треба скласти букет так, щоб у ньому було не менше 2 квіток. Скількома способами можна скласти такий букет?

Нехай М є п-множиною, к-довільне натуральне число.

Розміщення з повтореннями з п елементів по к – будь-який упорядкований к-елементний набір де елементи множини М (не обов’язково різні). Може бути і Інколи називають також впорядкованими к-вибірками з поверненням з п-множини.

Теорема 6. Число усіх розміщень з повтореннями для має місце

23. Автомобільний номер складається з 3 букв та 4 цифр. Знайти кількість усіх можливих номерів, якщо використовують 32 букви російського алфавіту.

24. Скільки цілих чисел, менших за мільйон, можна записати за допомогою цифр 7, 8, 9, 0? "0" можна писати спочатку.

25. Скільки цілих чисел, менших за мільйон, можна записати за допомогою цифр 7, 8, 9?

26. У ліфт 12-поверхового будинку зайшло на першому поверсі 10 людей. Скількома способами вони можуть вийти з ліфта?

27. На залізничній станції є т світлофорів. Скільки різних сигналів можна подати за їхньою допомогою, якщо кожний світлофор має 3 сигнали: червоний, жовтий і зелений? 3^т.

28. Поїзд, в якому їдуть п пасажирів, робить к зупинок. Скількома способами можуть вийти пасажири на цих зупинках? к^п.

29. Два листоноші повинні віднести 10 листів. Скількома способами вони можуть розподілити між собою роботу? 2¹⁰.

Перестановка з повтореннями з п елементів – будь-яке впорядкування п-множини, серед елементів якої є однакові. Якщо серед елементів п-множини М є п₁ елементів І типу, п₂ ІІ типу, …, п_к елементів к-типу .

Теорема 7. Число усіх перестановок з перетворенням такої множини

30. Скільки різних "слів" (у тому числі беззмістовних) можна дістати, переставляючи букви у слові "математика"?

31. Скількома способами можна порівну роздати 4 гравцям 28 кісток доміно?

32. Скільки різних слів можна утворити, переставляючи букви слів "мама" і "паралелограм"?

33. Скількома способами можна розділити 15 різних предметів?

34. Скількома способами можна розподілити 20 футбольних команд на 4 підгрупи по 5 команд у кожній?

Комбінація з повтореннями з п елементів по к – будь-який к-елементний набір типу де кожен із елементів належить до одного з п типів.

Теорема 8. Для будь-яких натуральних чисел п і к число комбінацій з повтореннями з п елементів по к.

35. Скількома способами можна купити 8 тістечок у кондитерській, де їх 6 різних сортів?

36. У поштовому відділенні зв’язку продаються листівки 10 видів. Скількома способами можна купити: а) 12 листівок; б) 8 листівок; в) 8 різних листівок

37. Скількома способами можна покласти 15 однакових куль у 5 урн?

38. Запишіть усі комбінації з повтореннями із 3 елементів по 3.

39. Потяг, в якому їдуть п пасажирів, робить х-зупинок. Скількома способами можуть вийти пасажири на цих зупинках, якщо враховується лише кількість пасажирів, що вийшли на кожній зупинці?

40. На залізничній станції є 10 колієпроводів. Скількома способами можна розчистити на них 3 потяги?

41. Для розвантаження товару директору маркета треба виділити 5 із 20 наявних робітників. Скількома способами це можна зробити, якщо робити вибір у випадковому порядку?