Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Заняття 3. Лінії на площині.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.07.2025
Размер:
1.06 Mб
Скачать

Канонічне рівняння прямої

Нехай пряма проходить через задану точку M0(x0; у0) паралельно даному векторові = (l, m) (рис. 3.8).

Виберемо на прямій довільну точку М (х; у) і розглянемо вектор M0M =(х-х0,у-у0). Вектори і колінеарні, тому їхні коор­динати пропорційні. З цієї умови дістанемо рівняння

(3.9)

яке називають канонічним рівнянням прямої. Вектор називають на­прямним вектором прямої.

Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки

Нехай пряма проходить через дві задані точки M1(х1; y1) і М2(х2, у2) (рис. 3.9). Тоді напрямним вектором прямої буде = M1M = (х2 - х1,y2-y1 )- Підставивши його координати й координати заданої точки M1 (х1;y1) у рівняння (3.9), дістанемо рівняння

(3.10)

яке називають рівнянням прямої, що проходить через дві задані

точки.

Приклад 4. Запишемо рівняння прямої, що проходить через точки M1(3; 1) і M2 (5; 4),

Підставляючи координати заданих точок у рівняння (3.10), діста­немо рівняння шуканої прямої:

або або 3x-2y-7=0

Рівняння прямої у відрізках

Запишемо рівняння прямої, яка відтинає від осей координат Ох і Oу задані відрізки α≠ 0 і Ь ≠ 0 відповідно (рис. 3.10).

Використовуючи рівняння пря­мої (3.10), яка проходить через точ­ки А{а;0) і B(0; b), дістанемо рівняння

,або після перетворень (3,11)

Рівняння (3.11) називають рівнян­ням

прямої у відрізках. Його зруч­но використовувати під час побу­дови прямої.

Приклад 5. Запишемо рівняння прямої, що проходить через точку М (4; -1)і відтинає від додатної півосі Ох відрізок удвоє більший, ніж на додатній півосі Оу, й побудуємо цю пряму

За умовою а = 2Ь (а > 0, Ь > 0).

Підставивши ці значення в рівняння (3.11), дістанемо

Оскільки точка М (4; -1) лежить на прямій, то її координати задовольня­ють це рівняння. Отже

Звідси b=1. Тоді а = 2. Рівняння шуканої прямої (рис. 3.11) має вигляд

Загальне рівняння прямої

Розглянемо рівняння першого степеня відносно змінних х і у

ах + Ьу + с = 0. (3.12)

Якщо коефіцієнти а і b цього рівняння одночасно не дорівнюють нулю (а + Ь > 0), то його називають загальним рівнянням прямої. Окремі випадки рівняння (3.12) подано в табл. 3.1.

Взаємне розміщення двох прямих

□ Перетин двох прямих. Нехай задано дві прямі: а1х + b1у + с1 = 0 і а2x + b2у + с2 = 0, які перетинаються. Оскільки координати точки пе­ретину цих прямих мають задовольняти рівняння кожної прямої, то їх можна знайти, розв'язавши систему рівнянь

(3.13)

Якщо система (3.13) має єди­ний розв'язок (х0; у0), то прямі пе­ретинаються в точці М0 (х0; у0).

Кут між прямими. Нехай по­трібно знайти кут, між прямими L1:y= k1х + b1 і :L2: у = k2x + b2 (рис. 3.12). Із рисунка видно, що кут між прямими L1 і L2 становить ϕ = а2 - а1. Оскільки k1 = tg а1, k2= tg а2, то за умови, що а1≠π/2 і a2≠π/2, дістанемо

або

(3.14)

Формула (3.14) визначає один із кутів між прямими, що перетина­ються. Інший кут дорівнює π-ϕ.

Умова паралельності прямих. Якщо прямі L1 у= k1х +b1 і L2: у = k2x + b2 паралельні, то кут ϕ = 0, а отже, tg ϕ = 0. Із формули (3.14) випливає, шо

k1=k2. (3.15)

і навпаки, якшо k1=k2, то з формули (3.14) випливає, шо tg ϕ = 0, а отже, і ϕ = 0. Таким чином, умова (3.15) є необхідною й достатньою умовою паралельності двох прямих

.

Приклад 6. Запишемо рівняння прямої, що проходить через точку М(-2; 4) паралельно прямій 2х - Зу + 6 = 0 (рис.3.13).

Записавши рівняння заданої прямої у вигляді . , знайде­мо її кутовий коефіцієнт k1= 2/3. Оскільки задана й шукана прямі па­ралельні, то їхні кутові коефіцієнти рівні, тобто k1 = k2= 2/3.

Шукана пряма проходить через точку М(-2; 4) і має кутовий ко­ефіцієнт k2 = 2/3. Тому її рівняння має вигляд

або

Умова перпендикулярності двох прямих. Якщо прямі L1: у=k1x+b2 і L2;y=k2x+b2 перпендикулярні, то кут ϕ= π/2; при цьому

або .Отже, справедлива рівність

(3.16)

Таким чином, умова (3.16) є необхідною й достатньою умовою перпен­дикулярності двох прямил.

Відстань від точки до прямої. Нехай задано точку М00; у0) і пряму L: ах + bу + с = 0. Відстань від точки М00; у0) до прямої L є довжиною перпендикуляра d=M0N - (рис. 3.14), яка обчислюється за формулою

(3.17)

Приклад 7. Знайдемо відстань між двома паралельними прямими АВ: 4х + Зу - 8 = 0 і DC: 4х + Зу -33 = 0 (рис. 3.15).

Через довільну точку А на будь-якій із прямих (наприклад АВ) про­ведемо перпендикуляр АМ. Визначивши координати точок перетину цього перпендикуляра із заданими прямими, знайдемо відстань між цими прямими. Кутовий коефіцієнт прямої АВ

. Знайдемо кутовий коефіцієнт прямої АМ, що проходить через точку A(2; 0) пер­пендикулярно до прямої АВ, з умови (3.16): Отже, рівняння цього перпендикуляра має вигляд

або

Знайдемо точку перетину перпендикуляра АМ із прямою ОС, роз­в'язавши систему

Звідси дістаємо координати точки перетину M(6; 3). Обчислюємо відстань між точками А і М: