
- •Тема. Лінії на площині.
- •Ключові поняття і терміни:
- •Рівняння прямої на площині
- •Рівняння прямої,що проходить через дану точку перпендикулярно до даного вектора
- •Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
- •Рівняння прямої, яка проходить через дану точку в даному напрямі
- •Канонічне рівняння прямої
- •Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки
- •Рівняння прямої у відрізках
- •Загальне рівняння прямої
- •Запитання і завдання
Канонічне рівняння прямої
Нехай пряма
проходить через задану точку M0(x0;
у0)
паралельно даному векторові
= (l,
m)
(рис. 3.8).
Виберемо на прямій
довільну точку М (х; у) і розглянемо
вектор M0M
=(х-х0,у-у0).
Вектори
і
колінеарні, тому їхні координати
пропорційні. З цієї умови дістанемо
рівняння
(3.9)
яке називають
канонічним
рівнянням прямої.
Вектор
називають
напрямним вектором прямої.
Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки
Нехай пряма
проходить через дві задані точки M1(х1;
y1)
і
М2(х2,
у2)
(рис. 3.9). Тоді напрямним вектором прямої
буде
= M1M
= (х2
- х1,y2-y1
)- Підставивши його координати й координати
заданої точки M1
(х1;y1)
у рівняння (3.9), дістанемо рівняння
(3.10)
яке називають рівнянням прямої, що проходить через дві задані
точки.
Приклад 4. Запишемо рівняння прямої, що проходить через точки M1(3; 1) і M2 (5; 4),
Підставляючи координати заданих точок у рівняння (3.10), дістанемо рівняння шуканої прямої:
або
або
3x-2y-7=0
Рівняння прямої у відрізках
Запишемо рівняння прямої, яка відтинає від осей координат Ох і Oу задані відрізки α≠ 0 і Ь ≠ 0 відповідно (рис. 3.10).
Використовуючи
рівняння прямої (3.10), яка проходить
через точки А{а;0)
і B(0;
b),
дістанемо
рівняння
,або
після перетворень
(3,11)
Рівняння (3.11) називають рівнянням
прямої у відрізках. Його зручно використовувати під час побудови прямої.
Приклад 5. Запишемо рівняння прямої, що проходить через точку М (4; -1)і відтинає від додатної півосі Ох відрізок удвоє більший, ніж на додатній півосі Оу, й побудуємо цю пряму
За умовою а = 2Ь (а > 0, Ь > 0).
Підставивши ці значення в рівняння (3.11), дістанемо
Оскільки точка М
(4; -1) лежить на прямій, то її координати
задовольняють це рівняння. Отже
Звідси b=1. Тоді а = 2. Рівняння шуканої прямої (рис. 3.11) має вигляд
Загальне рівняння прямої
Розглянемо рівняння першого степеня відносно змінних х і у
ах + Ьу + с = 0. (3.12)
Якщо коефіцієнти а і b цього рівняння одночасно не дорівнюють нулю (а + Ь > 0), то його називають загальним рівнянням прямої. Окремі випадки рівняння (3.12) подано в табл. 3.1.
Взаємне розміщення двох прямих
□ Перетин двох прямих. Нехай задано дві прямі: а1х + b1у + с1 = 0 і а2x + b2у + с2 = 0, які перетинаються. Оскільки координати точки перетину цих прямих мають задовольняти рівняння кожної прямої, то їх можна знайти, розв'язавши систему рівнянь
(3.13)
Якщо система (3.13) має єдиний розв'язок (х0; у0), то прямі перетинаються в точці М0 (х0; у0).
□ Кут між прямими. Нехай потрібно знайти кут, між прямими L1:y= k1х + b1 і :L2: у = k2x + b2 (рис. 3.12). Із рисунка видно, що кут між прямими L1 і L2 становить ϕ = а2 - а1. Оскільки k1 = tg а1, k2= tg а2, то за умови, що а1≠π/2 і a2≠π/2, дістанемо
або
(3.14)
Формула (3.14) визначає один із кутів між прямими, що перетинаються. Інший кут дорівнює π-ϕ.
□ Умова паралельності прямих. Якщо прямі L1 у= k1х +b1 і L2: у = k2x + b2 паралельні, то кут ϕ = 0, а отже, tg ϕ = 0. Із формули (3.14) випливає, шо
k1=k2. (3.15)
і навпаки, якшо k1=k2, то з формули (3.14) випливає, шо tg ϕ = 0, а отже, і ϕ = 0. Таким чином, умова (3.15) є необхідною й достатньою умовою паралельності двох прямих
.
■ Приклад 6. Запишемо рівняння прямої, що проходить через точку М(-2; 4) паралельно прямій 2х - Зу + 6 = 0 (рис.3.13).
Записавши рівняння
заданої прямої у вигляді .
,
знайдемо її кутовий коефіцієнт k1=
2/3. Оскільки задана й шукана прямі
паралельні, то їхні кутові коефіцієнти
рівні, тобто k1
= k2=
2/3.
Шукана пряма проходить через точку М(-2; 4) і має кутовий коефіцієнт k2 = 2/3. Тому її рівняння має вигляд
або
Умова перпендикулярності двох прямих. Якщо прямі L1: у=k1x+b2 і L2;y=k2x+b2 перпендикулярні, то кут ϕ= π/2; при цьому
або
.Отже,
справедлива рівність
(3.16)
Таким чином, умова (3.16) є необхідною й достатньою умовою перпендикулярності двох прямил.
□ Відстань від точки до прямої. Нехай задано точку М0(х0; у0) і пряму L: ах + bу + с = 0. Відстань від точки М0(х0; у0) до прямої L є довжиною перпендикуляра d=M0N - (рис. 3.14), яка обчислюється за формулою
(3.17)
Приклад 7. Знайдемо відстань між двома паралельними прямими АВ: 4х + Зу - 8 = 0 і DC: 4х + Зу -33 = 0 (рис. 3.15).
Через довільну точку А на будь-якій із прямих (наприклад АВ) проведемо перпендикуляр АМ. Визначивши координати точок перетину цього перпендикуляра із заданими прямими, знайдемо відстань між цими прямими. Кутовий коефіцієнт прямої АВ
.
Знайдемо кутовий коефіцієнт прямої АМ,
що проходить через точку A(2;
0) перпендикулярно до прямої АВ, з
умови (3.16):
Отже,
рівняння цього
перпендикуляра має вигляд
або
Знайдемо точку
перетину перпендикуляра АМ із прямою
ОС, розв'язавши систему
Звідси дістаємо координати точки перетину M(6; 3). Обчислюємо відстань між точками А і М: