2. Синтез и минимизация комбинационных схем

В практической инженерной работе под логическим синтезом понимают процесс составления собственных функций конечного автомата, работающего по заданному алгоритму. В результате этой работы должны быть получены алгебраические выражения для выходных и промежуточных переменных, на основе которых мо­гут быть построены схемы, содержащие минимальное количество элементов.

В результате синтеза можно получить несколько равносильных вариантов логических функций, алгебраические выражения ко­торых близки к минимальным. По этим выражениям могут быть построены различные по сложности принципиальные схемы, реа­лизующие заданные условия работы.

Все дискретные схемы автоматического управления могут быть подразделены на два класса: работа которых не зависит от времени и работа которых от времени зависит.

Логические функции, описывающие работу первых, называются комбинационными. Значение таких функций зависит только от комбинации значений входных переменных, независимо от времени формирования такой комбинации.

Схемы, реализую­щие комбинационные логические функции, называются одноактными, поскольку изменение значения выходного сигнала с прямого на противоположное (с 0 на 1 или наоборот) происходит в один такт: изменение комбинации входных сигналов — изменение состояния выходного элемента.

Процесс синтеза таких схем может быть достаточно формализо­ван, так как он сводится главным образом к составлению таблиц истинности или карт Карно по заданным условиям появления и ис­чезновения выходных сигналов.

Таким образом, при синтезе схемы автоматизации должны быть заданы некоторые логические функции, комбинируя которые можно получить логическую функцию всего устройства.

2.1. Применение карт Карно при синтезе комбинационных схем

По заданным условиям работы для всех состояний входов можно составить таблицу соответствия (истинности) — см. табл. 2. Спо­соб задания логической функции с помощью таблиц истинности неудобен при большом количестве переменных. Значительно проще логические функции задавать при помощи карт, или матриц, Карно. Карта Карно представляет собой четырехугольник, разделенный на элементарные квадраты, каждому из которых соответствует комби­нация значений всех входных переменных: а₁ а₂, . . . , а_п.

Обозначения входных переменных пишутся сбоку и сверху и от­носятся ко всей строке или столбцу следующих за ними элементар­ных квадратов. При этом считается, что значения входных переменных в квадратах строки и столбца против скобок равны 1, а вне их — 0.

Рисунок 1 - Карта Карно Рисунок 2 - Карта Карно для функции

для двух переменных трех переменных а₁ а₂, а₃

а₁ и а₂

В каждом квадрате записывается значение логической функции, изображаемой данной картой, при соответствующих дан­ному квадрату значениях входных переменных.

Карта Карно для большого количества переменных имеет боль­шую размерность. В общем случае это 2ⁿ, где п — число входных переменных. Карту Карно можно строить непосредственно по алгебра­ическим выражениям. Для этого заданное выражение логической функции приводится к СДНФ. Число клеток равно 2ⁿ. Для каж­дого конституента* единицы СДНФ выбирается соответствующая клетка, в которой записывается 1. В остальные клетки записы­ваются 0. Каждый конституент единицы в клетке соответствует такому же набору переменных.

Например, для трех переменных аbс—001. Для логической функ­ции, заданной алгебраическим выражением,

f = а₁^-- а₃\/a₂a₃\/a₁^-- a₂.

После ее преобразования в СДНФ будем иметь:

f = а₁ a₂ а₃\/ а₁^-- a₂а₃\/ a₁^-- a₂а₃^-- \/ a₁^-- a₂^--a₃

Карта Карно для этой функции при­ведена на рис. 2.

Аналогично СДНФ логической функции, изображенной в виде карты Карно, можно строить следующим образом:

а) для каждой клетки, в которой функция имеет значение 1, записывается конъюнкция всех входных переменных;

б) составляется дизъюнкция этих конъюнкций, которая и представляет собой СДНФ.

Соответственно СКНФ определяется так: для каждой клетки, в которой функция равна 0, записывается дизъюнкция инверсий входных переменных, определяющих данную клетку;

в) составляется конъюнкция этих дизъюнкций.

Отметим одно важное свойство карт Карно, которое исполь­зуется для определения по ним алгебраических выражений логиче­ских функций и минимальных алгебраических выражений: наборы значений переменных в соседних клетках карты Карно отличаются значением лишь одной переменной. Таким образом, при переходе из данной клетки в соседнюю одна переменная изменяется на ин­версное значение. Соседними являются также крайние ле­вые и крайние правые клетки карты, а также крайние верхние и крайние нижние.

Если две клетки карты Карно вне зависимости от их располо­жения отличаются значением лишь одной переменной, то такие клетки также являются соседними.

Рисунок 3 - Объединение клеток карты Карно в контуры

Принимая во внимание это свойство, запишем алгебраическое выражение для двух соседних клеток карты Карно, объединенных в контур 1₁ (рис. 3) функции:

f = а₁а_га₃а₄ V а₁а_га₃а₄ V а₁а_га₃а₄ V а₁а_га₃а₄ V а₁а_га₃а₄ V а₁а_га₃а₄ V а₁а_га₃а₄ V а₁а_га₃а₄ V а₁а_га₃а₄ V а₁а_га₃а₄ V а₁а_га₃а₄ .

Это выражение имеет вид а₁а_га₃а₄ V а₁а_га₃а₄ Так как обе клетки являются соседними, то после преобразования имеем а₁а₂а₄ (a₃ \/a₃^-- ) = а₁^--а₂а₄. Следовательно, выражение этого кон­тура не зависит от переменной а₃. Далее контур 1 охватывает че­тыре квадрата и пересекает границы двух переменных а₁ и а₃.

Рисунок 4 - Структурная схема на логических элементах

Запишем дизъюнкцию конъюнкций переменных в соответствии с их наборами в этих клетках. Имеем: а₁а_га₃а₄ V а₁а_га₃а₄ V а₁а_га₃а₄ V а₁а_га₃а₄ V

= а_га₃а₄ (а₁ V а₁^--) V а₂а₃^--а₄(а₁ V а₁^--) = а₂а₄ (a₃V a₃^--) = а₂а₄

Следовательно, чем больше единиц охватывает контур, тем проще алгебраические выражения.

Именно на этом свойстве основывается метод минимизации ло­гических функций с помощью карт Карно. Соответственно, если каждый контур включает только одну единицу (единичную клетку), то получаем наиболее сложное выражение, которое по определению соответствует СДНФ или СКНФ. Продолжая рассмотрение конту­ров (рис. 3), получим: a₃a₄, a₁a₄, а₂а₃, а₁а₃, а₁а₂.

Логическая функция, записанная в нормальной дизъюнктивной форме (ДНФ), в этом случае имеет вид:

f = а₂а₄ V a₃a₄ V a₁a₄ V а₂а_з V a₁a₃ V а₁а₂

Если воспользоваться дистрибутивным законом, можно получить вид функции f = а₁ (а₂ V a₃Va₄ )V а₂ (а_зV a₄ )V а₃а₄ Структурная схема на логических элементах показана на рис. 4.

Рассмотренный способ построения карты Карно удобен для слу­чаев, когда количество переменных не превышает 4. Если же ко­личество переменных превышает это число, то карты Карно можно строить несколько по-другому.

Пример. Имеется транспортная система (рис. 5), состоящая из конвейера 1, расходного бункера 4, вибролоткового затвора 3 и реверсивного конвейера 2.

Механизмы транспортной системы оборудованы датчиками: кон­вейер / — датчиком наличия скольжения (ДНС); бункер 4 — датчиком верхнего уровня (ДВУ); конвейер 2 — двумя датчиками наличия материала на ленте ( ДНМ1 и ДНМ2).

Рисунок 5 - Поточно-транспортная система с бункером

Требуется составить струк­турную формулу включения реле отключения механизмов транс­портной системы в случаях:

1. Если скольжение ленты кон­вейера 1 превышает допустимое (при срабатывании датчика ДНС).

2. Когда заполнился бункер (при срабатывании датчика ДВУ).

3. При включенном вибролотковом затворе — в случае исчезновения материала на ленте реверсивного конвейера (при отпускании реле ДНМ1 или ДНМ2, так как датчик ветви, по которой не транс­портируется материал, будет выдавать сигнал 0).

Для удобства введем обозначения:

Сигнал датчика ДНС - a₁

Сигнал датчика ДВУ - a₂

Сигнал, выдаваемый магнитным пускателем вибролоткового

затвора - a₃

Сигнал, выдаваемый датчиком ДНМ1 . . . . . - a₄

Сигнал, выдаваемый датчиком ДНМ2 . . . . . - a₅

Реагирующий элемент (реле выключения механизмов) Р

Таким образом, имеем пять входных переменных и одну выход­ную переменную (реагирующий элемент). Карта Карно будет в этом случае содержать 2⁵ = 32 клетки (рис. 6).

Клетки заполняются из приведенных выше условий. Для полу­чения минимальной структурной формулы в ДНФ объединим все клетки, содержащие 1: строки 01 и 11 (16 клеток); строки 11 и 10 (16 клеток); столбец 100 (4 клетки). В соответствии с отмеченными ранее свойствами карт Карно математические выражения первого и второго контура не зависят от четырех переменных, а третьего контура — от двух переменных.

Рисунок 6 - Карта Карно для поточно-транспортной схе­мы, изображенной на рис. 5

Следовательно, математическое выражение объединения клеток строк 01 и 11 не зависит от а₁, а₃, а₄, а₅, объединение клеток строк 11 и 10 — от а₂, а₃, а₄. а₅,,

Рисунок 7 - Принципиальная схема управления поточно-транспортной системой с бункером

а — релейно-контактный вариант; б — вариант на бесконтактных элементах

а объединение клеток столбца 100 — от а₁ и а₂. Таким образом, структурная формула включения реле Р будет иметь вид:

Принципиальная схема на контактных элементах, построенная по этой формуле, изображена на рис. 7, а, а структурная схема на бесконтактных элементах — на рис. 7, б.