2 Оптимизация плана работы автотранспорта при осуществлении централизованного завоза-вывоза контейнеров

Для оптимизации плана работы автотранспорта используется транспортная задача. Общая постановка транспортной задачи состоит в определение оптимального плана перевозок некоторого однородного груза из m пунктов отправления (А₁, А₂, А_m) в n пунктов назначения (В₁, В₂, В_n). В качестве критериев эффективности используются критерии пробега, времени и стоимости.

Транспортная задача записывается в виде матрицы, в которой потребитель записывается по столбцам, а поставщик - по строкам. На пересечении строк и столбцов записывается размер поставки и затраты на перевозку.

Рассмотрим математическую модель прикрепления пунктов назначения к пунктам отправления. Имеется n потребителей и m поставщиков, мощность i-го поставщика (i=1, m)→., спрос j-го потребителя j (j=1, n)→. Общая сумма затрат F. Затраты на перевозку одной тонны груза обозначаются как C_ij, а размер поставки - .

Математическая модель имеет вид:

, (2.1)

Задача имеет следующие ограничения:

1) Объем поставок i-го поставщика должен равняться количеству имеющегося у него груза:

2) Объем поставок j -го потребителя должен равняться его спросу:

3) Объем поставки должен выражаться неотрицательным числом:

, (2.4)

Условие разрешимости транспортной задачи запас грузов поставщиков должен равняться суммарному спросу потребителя:

В том случае, когда модель является незакрытой, ее необходимо привести к закрытой форме. Если нет равенства в задаче, вводится фиктивный отправитель или получатель.

Расстояние между получателем и отправителем находится по формуле:

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.

∑a = 3 + 1 + 0 + 0 + 1 + 4 + 2 + 5 + 15 = 31 ∑b = 5 + 5 + 2 + 5 + 5 + 3 + 5 + 1 = Запасы равны потребностям. Следовательно, модель транспортной задачи является закрытой. Условие баланса соблюдается.

Занесем исходные данные в распределительную таблицу 2.1.

Таблица 2.1 – Распределительная таблица

Получатель	П1	П2	П3	П4	П5	П6	П7	П8	Объем выгрузки
О1	0	8	0	10	2	1	7	3	3
О2	8	0	8	6	6	9	15	5	1
О3	0	8	0	10	2	1	7	3	0
О4	10	6	6	0	8	9	11	11	0
О5	2	6	2	8	0	3	9	3	1
О6	1	9	1	9	3	0	6	4	4
О7	7	15	8	11	9	6	0	10	2
О8	3	5	3	11	3	4	10	0	5
КТ	2	16	8	12	10	7	1	11	15
всего	5	5	2	5	5	3	5	1	31 31

План, при котором функция принимает свое минимальное значение, называется оптимальным планом.

Составим начальный опорный план, приведенный в таблице 2.2.

Таблица 2.2 – Опорный план транспортной задачи

Получатель	П1	П2	П3	П4	П5	П6	П7	П8	Объем выгрузки
О1	3 0	8	0	10	2	1	7	3	3
О2	1 8	0	8	6	6	9	15	5	1
О3	0 0	8	0	10	2	1	7	3	0
О4	10	6	6	0	8	9	11	11	0
О5	1 2	6	2	8	0	3	9	3	1
О6	1	4 9	1	9	3	0	6	4	4
О7	7	1 15	1 8	11	9	6	0	10	2
О8	3	5	1 3	4 11	3	4	10	0	5
КТ	2	16	8	1 12	5 10	3 7	5 1	1 11	15
Объем погрузки	5	5	2	5	5	3	5	1	31 31

Проверим опорный план на условие вырожденности / невырожденности. Число занятых клеток таблицы, их 14, а должно быть m + n - 1 = 16. Следовательно, опорный план является вырожденным. Значение целевой функции для этого опорного плана равно: F(x) = 0*3 + 8*1 + 2*1 + 9*4 + 15*1 + 8*1 + 3*1 + 11*4 + 12*1 + 10*5 + 7*3 + 1*5 + 11*1 = 215

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы a_i, в_j. по занятым клеткам таблицы, в которых a_i + в_j = c_ij, полагая, что a₁= 0:

а₁ + b₁ = 0; 0 + b₁ = 0; b₁ = 0 a₂ + b₁ = 8; 0 + a₂ = 8; a₂ = 8 a₃ + b₁ = 0; 0 + a₃ = 0; a₃ = 0 a₅ + b₁ = 2; 0 + a₅ = 2; a₅ = 2 a₆ + b₂ = 9; 0 + a₆ = 9; a₆ = 9 a₆ + b₂ = 9; 9 + b₂ = 9; b₂ = 0 a₇ + b₂ = 15; 0 + a₇ = 15; a₇ = 15 a₇ + b₃ = 8; 15 + b₃ = 8; b₃ = -7 a₈ + b₃ = 3; -7 + a₈ = 3; a₈ = 10 a₈ + b₄ = 11; 10 + b₄ = 11; b₄ = 1 a₉ + b₄ = 12; 1 + a₉ = 12; a₉ = 11 a₉ + b₅ = 10; 11 + b₅ = 10; b₅ = -1 a₉ + b₆ = 7; 11 + b₆ = 7; b₆ = -4 a₉ + b₇ = 1; 11 + b₇ = 1; b₇ = -10 a₉ + b₈ = 11; 11 + b₈ = 11; b₈ = 0

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых a_i + в_j > c_ij:

(2;2): 8 + 0 > 0; ∆₂₂ = 8 + 0 - 0 = 8 (2;4): 8 + 1 > 6; ∆₂₄ = 8 + 1 - 6 = 3 (2;5): 8 -1 > 6; ∆₂₅ = 8 -1 - 6 = 1 (2;8): 8 + 0 > 5; ∆₂₈ = 8 + 0 - 5 = 3 (4;4): - + 1 > 0; ∆₄₄ = - + 1 - 0 = 1 (5;5): 2 -1 > 0; ∆₅₅ = 2 -1 - 0 = 1 (6;1): 9 + 0 > 1; ∆₆₁ = 9 + 0 - 1 = 8 (6;3): 9 -7 > 1; ∆₆₃ = 9 -7 - 1 = 1 (6;4): 9 + 1 > 9; ∆₆₄ = 9 + 1 - 9 = 1 (6;5): 9 -1 > 3; ∆₆₅ = 9 -1 - 3 = 5 (6;6): 9 -4 > 0; ∆₆₆ = 9 -4 - 0 = 5 (6;8): 9 + 0 > 4; ∆₆₈ = 9 + 0 - 4 = 5 (7;1): 15 + 0 > 7; ∆₇₁ = 15 + 0 - 7 = 8 (7;4): 15 + 1 > 11; ∆₇₄ = 15 + 1 - 11 = 5 (7;5): 15 -1 > 9; ∆₇₅ = 15 -1 - 9 = 5 (7;6): 15 -4 > 6; ∆₇₆ = 15 -4 - 6 = 5 (7;7): 15 -10 > 0; ∆₇₇ = 15 -10 - 0 = 5 (7;8): 15 + 0 > 10; ∆₇₈ = 15 + 0 - 10 = 5 (8;1): 10 + 0 > 3; ∆₈₁ = 10 + 0 - 3 = 7 (8;2): 10 + 0 > 5; ∆₈₂ = 10 + 0 - 5 = 5 (8;5): 10 -1 > 3; ∆₈₅ = 10 -1 - 3 = 6 (8;6): 10 -4 > 4; ∆₈₆ = 10 -4 - 4 = 2 (8;8): 10 + 0 > 0; ∆₈₈ = 10 + 0 - 0 = 10 (9;1): 11 + 0 > 2; ∆₉₁ = 11 + 0 - 2 = 9 max(8,3,1,3,1,1,8,1,1,5,5,5,8,5,5,5,5,5,7,5,6,2,10,9) = 10

Звено неоптимальности - клетка (9;1).

Составим контур перераспределения ресурсов (2,2 → 2,1 → 9,1 → 9,4 → 8,4 → 8,3 → 7,3 → 7,2). Из грузов х_ij, стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (8, 3) = 1. Прибавляем 0 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 0 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план, представленный в таблице 2.3.

Таблица 2.3 – Новый опорный план транспортной задачи

Получатель	П1	П2	П3	П4	П5	П6	П7	П8	Объем выгрузки
О1	3 0	8	0	10	2	1	7	3	3
О2	1 8	0	8	6	6	9	15	5	1
О3	0 0	8	0	10	2	1	7	3	0
О4	10	6	6	0	8	9	11	11	0
О5	1 2	6	2	8	0	3	9	3	1
О6	1	4 9	1	9	3	0	6	4	4
О7	7	1 15	1 8	11	9	6	0	10	2
О8	3	5	1 3	4 11	3	4	10	0	5
КТ	2	16	8	1 12	5 10	3 7	5 1	1 11	15
Объем погрузки	5	5	2	5	5	3	5	1	31 31

С помощью программы, решим задачу методом потенциалов.

Таблица 2.4 – Оптимальный план транспортной задачи

Получатель	П1	П2	П3	П4	П5	П6	П7	П8	Объем выгрузки
О1	0	0 8	2 0	10	1 2	1	7	3	3
О2	8	1 0	8	6	6	9	15	5	1
О3	0	0 8	0	10	2	1	7	3	0
О4	10	6	6	0 0	8	9	11	11	0
О5	2	6	2	8	1 0	3	9	3	1
О6	1	9	1	9	3 3	1 0	6	4	4
О7	7	15	8	2 11	9	6	0	10	2
О8	3	4 5	3	11	3	4	10	1 0	5
КТ	5 2	16	8	3 12	10	2 7	5 1	11	15
Объем погрузки	5	5	2	5	5	3	5	1	31 31

F(x) = 0*2 + 2*1 + 0*1 + 0*1 + 3*3 + 0*1 + 11*2 + 5*4 + 0*1 + 2*5 + 12*3 + 7*2 + 1*5 = 118.

Расчеты экономической эффективности опорного и оптимального планов представлены в таблицах 2.5 и 2.6.

l₁ – расстояние от контейнерного терминала (КТ) до грузополучателя (О); l₂ – расстояние от грузополучателя (О) до грузоотправителя (П); l₃ – расстояние от грузоотправителя (П) до контейнерного пункта (КТ).

Таблица 2.5 – Расчет экономической эффективности опорного плана

Маршрут	Количество контейнеров,U	Расстояние				Конт*км, Ul
		l1	l2	l3
КТ- О1 гр П1- КТ гр	3 3	2		2	6 6
КТ- О2 гр П2- КТ пор	1 1	16		2	16 2
КТ – О5 гр О5-П1 пор П1- КТ гр	1 1 1	10	2	2	10 2 2
КТ – О6 гр П6-КТгр О6-П3пор П3-КТ гр	1 1 3 3	7	3	16 3	7 16 9 9
КТ – О7 гр О7-П2 пор П2-КТ гр О7-П3пор П3-КТ гр	2 1 1 1 1	1	15 8	16 8	2 15 16 8 8
КТ-О8 О8-П3пор П3-КТгр О8-П4пор П4-КТгр	5 1 1 4 4	11	3 11	8 12	55 3 8 44 48
Кт-П4пор П4-КТгр Кт-П5пор П5-КТгр Кт-П6пор П6-КТгр Кт-П7пор П7-КТгр Кт-П8пор П8-КТгр	1 1 5 5 3 3 5 5 1 1		12 10 7 1 11	12 10 7 1 11	12 12 50 50 21 21 5 5 11 11
Всего							541

Таблица 2.6 – Расчет экономической эффективности оптимального плана

Маршрут	Количество контейнеров,U	Расстояние			Конт*км, Ul
		l1	l2	l3
1	2	3	4	5	6
КТ- О1 гр О1- П3 гр П3- КТ пор О1 - П5 пор П5- КТ гр	3 2 2 1 1	2	0 2	8 10	6 0 16 7 10
КТ- О2 гр П2- КТ гр	1 1	16		16	16 16
КТ – О5 гр П5- КТ гр	1 1	10		10	10 10
КТ – О6 гр О6-П5 пор П5- КТ гр О6-П6пор П6-Кт гр	4 3 3 1 1	7	3 0	10 7	7 9 30 0 7
КТ – О7 гр О7-П4 П4-КТ гр	2 2 2	1	11	12	2 22 24
КТ – О8 гр О8-П2 пор П2- КТ гр О8-П8 пор П8- КТ гр	5 4 4 1 1	11	5 0	16 11	55 20 64 0 11
КТ-П1пор П1-Кт гр КТ-П4пор П4-Кт гр КТ-П6пор П6-Кт гр КТ-П7пор П7-Кт гр	5 5 3 3 2 2 5 5		2 12 7 1	2 12 7 1	10 10 36 36 14 14 5 5
Всего						472

Вывод: Расчет показал, что оптимальный план, решенный методом потенциалов, дешевле опорного плана на 18 конт-км.