2 Оптимизация плана работы автотранспорта при осуществлении централизованного завоза-вывоза контейнеров
Для оптимизации плана работы автотранспорта используется транспортная задача. Общая постановка транспортной задачи состоит в определение оптимального плана перевозок некоторого однородного груза из m пунктов отправления (А1, А2, Аm) в n пунктов назначения (В1, В2, Вn). В качестве критериев эффективности используются критерии пробега, времени и стоимости.
Транспортная задача записывается в виде матрицы, в которой потребитель записывается по столбцам, а поставщик - по строкам. На пересечении строк и столбцов записывается размер поставки и затраты на перевозку.
Рассмотрим
математическую модель прикрепления
пунктов назначения к пунктам отправления.
Имеется n
потребителей и m
поставщиков, мощность i-го
поставщика (i=1,
m)→
.,
спрос j-го
потребителя j
(j=1,
n)→
.
Общая сумма затрат F.
Затраты на перевозку одной тонны груза
обозначаются как Cij,
а размер поставки -
.
Математическая модель имеет вид:
,
(2.1)
Задача имеет следующие ограничения:
1) Объем поставок i-го поставщика должен равняться количеству имеющегося у него груза:
2) Объем поставок j -го потребителя должен равняться его спросу:
3) Объем поставки должен выражаться неотрицательным числом:
,
(2.4)
Условие
разрешимости транспортной задачи запас
грузов поставщиков должен равняться
суммарному спросу потребителя:
В том случае, когда модель является незакрытой, ее необходимо привести к закрытой форме. Если нет равенства в задаче, вводится фиктивный отправитель или получатель.
Расстояние между получателем и отправителем находится по формуле:
Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.
Условие баланса не соблюдается. Задача открытая. Приводим к закрытой с помощью ввода фиктивного КТ 24 – 19 = 5.
Условие баланса соблюдается.
Занесем исходные данные в распределительную таблицу 2.1.
Таблица 2.1 – Распределительная таблица
|
Получатель |
П1 |
П2 |
П3 |
П4 |
П5 |
П6 |
П7 |
П8 |
Объем выгрузки |
|
О1 |
0 |
3 |
8 |
5 |
5 |
11 |
2 |
6 |
2 |
|
О2 |
3 |
0 |
5 |
4 |
8 |
8 |
5 |
3 |
2 |
|
О3 |
8 |
5 |
0 |
3 |
7 |
3 |
10 |
6 |
2 |
|
О4 |
5 |
4 |
3 |
0 |
4 |
6 |
7 |
7 |
2 |
|
О5 |
5 |
8 |
7 |
4 |
0 |
8 |
5 |
11 |
4 |
|
О6 |
11 |
8 |
3 |
6 |
8 |
0 |
13 |
9 |
1 |
|
О7 |
2 |
5 |
10 |
7 |
5 |
13 |
0 |
8 |
4 |
|
О8 |
6 |
3 |
6 |
7 |
11 |
9 |
8 |
0 |
2 |
|
КТ |
7 |
10 |
15 |
12 |
10 |
18 |
5 |
9 |
5 |
|
Объем погрузки |
1 |
2 |
3 |
2 |
4 |
4 |
4 |
4 |
24 24 |
План, при котором функция принимает свое минимальное значение, называется оптимальным планом.
Составим начальный опорный план, приведенный в таблице 2.2.
Таблица 2.2 – Опорный план транспортной задачи
|
Получатель |
П1 |
П2 |
П3 |
П4 |
П5 |
П6 |
П7 |
П8 |
Объем выгрузки |
|
О1 |
0/1 |
3/1 |
8/0 |
5/0 |
5/0 |
11 |
2 |
6 |
2 |
|
О2 |
3 |
0/1 |
5/1 |
4 |
8 |
8 |
5 |
3 |
2 |
|
О3 |
8 |
5 |
0/2 |
3 |
7 |
3 |
10 |
6 |
2 |
|
О4 |
5 |
4 |
3 |
0/2 |
4 |
6 |
7 |
7 |
2 |
|
О5 |
5 |
8 |
7 |
4 |
0/4 |
8 |
5 |
11 |
4 |
|
О6 |
11 |
8 |
3 |
6 |
8 |
0/1 |
13 |
9 |
1 |
|
О7 |
2 |
5 |
10 |
7 |
5 |
13/3 |
0/1 |
8 |
4 |
|
О8 |
6 |
3 |
6 |
7 |
11 |
9 |
8/2 |
0 |
2 |
|
КТ |
7 |
10 |
15 |
12 |
10 |
18 |
5/1 |
9/4 |
5 |
|
Объем погрузки |
1 |
2 |
3 |
2 |
4 |
4 |
4 |
4 |
24 24 |
Проверим опорный план на условие вырожденности / невырожденности. Число занятых клеток таблицы, их 13, а должно быть m + n - 1 = 16. Следовательно, опорный план является вырожденным. Для получения невырожденного плана принудительно добавляем нуль [0] в клетку (1;3); (1;4); (1;5).
Целевая функция:
Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ai, вj. по занятым клеткам таблицы, в которых ai + вj = cij, полагая, что a1= 0:
a1 + в1 = 0; 0 + в1 = 0; в1 = 0
a1 + в2 = 3; 0 + в2 = 3; в2 = 3
a2 + в2 = 0; 3 + a2 = 0; a2 = -3
a2 + в3 = 5; -3 + в3 = 5; в3 = 8
a3 + в3 = 0; 8 + a3 = 0; a3 = -8
a4 + в4 = 0; 0 + a4 = 0; a4 = 0
a4 + в4 = 0; 0 + в4 = 0; в4 = 0
a5 + в5 = 0; 0 + a5 = 0; a5 = 0
a5 + в5 = 0; 0 + в5 = 0; в5 = 0
a6 + в6 = 0; 0 + a6 = 0; a6 = 0
a6 + в6 = 0; 0 + в6 = 0; в6 = 0
a7 + в6 = 13; 0 + a7 = 13; a7 = 13
a7 + в7 = 0; 13 + в7 = 0; в7 = -13
a8 + в7 = 8; -13 + a8 = 8; a8 = 21
a9 + в7 = 5; -13 + a9 = 5; a9 = 18
a9 + в8 = 9; 18 + в8 = 9; в8 = -9
Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ai + вj > cij:
(5;3): 0 + 8 > 7; ∆53 = 0 + 8 - 7 = 1
(6;3): 0 + 8 > 3; ∆63 = 0 + 8 - 3 = 5
(7;1): 13 + 0 > 2; ∆71 = 13 + 0 - 2 = 11
(7;2): 13 + 3 > 5; ∆72 = 13 + 3 - 5 = 11
(7;3): 13 + 8 > 10; ∆73 = 13 + 8 - 10 = 11
(7;4): 13 + 0 > 7; ∆74 = 13 + 0 - 7 = 6
(7;5): 13 + 0 > 5; ∆75 = 13 + 0 - 5 = 8
(8;1): 21 + 0 > 6; ∆81 = 21 + 0 - 6 = 15
(8;2): 21 + 3 > 3; ∆82 = 21 + 3 - 3 = 21
(8;3): 21 + 8 > 6; ∆83 = 21 + 8 - 6 = 23
(8;4): 21 + 0 > 7; ∆84 = 21 + 0 - 7 = 14
(8;5): 21 + 0 > 11; ∆85 = 21 + 0 - 11 = 10
(8;6): 21 + 0 > 9; ∆86 = 21 + 0 - 9 = 12
(8;8): 21 -9 > 0; ∆88 = 21 -9 - 0 = 12
(9;1): 18 + 0 > 7; ∆91 = 18 + 0 - 7 = 11
(9;2): 18 + 3 > 10; ∆92 = 18 + 3 - 10 = 11
(9;3): 18 + 8 > 15; ∆93 = 18 + 8 - 15 = 11
(9;4): 18 + 0 > 12; ∆94 = 18 + 0 - 12 = 6
(9;5): 18 + 0 > 10; ∆95 = 18 + 0 - 10 = 8
max(5, 1, 5, 11, 11, 11, 6, 8, 15, 21, 23, 14, 10, 12, 12, 11, 11, 11, 6, 8) = 23
Выбираем максимальную оценку свободной клетки (8;3): 6
Для этого в перспективную клетку (8;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».В результате получим новый опорный план, представленный в таблице 2.3.
Таблица 2.3 – Новый опорный план транспортной задачи
|
Получатель |
П1 |
П2 |
П3 |
П4 |
П5 |
П6 |
П7 |
П8 |
Объем выгрузки |
|
О1 |
0/1 |
3/1 |
8 |
5 |
5 |
11 |
2 |
6 |
2 |
|
О2 |
3 |
0/1 |
5/1 |
4 |
8 |
8 |
5 |
3 |
2 |
|
О3 |
8 |
5 |
0/2 |
3 |
7 |
3 |
10 |
6 |
2 |
|
О4 |
5 |
4 |
3 |
0/2 |
4 |
6 |
7 |
7 |
2 |
|
О5 |
5 |
8 |
7 |
4 |
0/4 |
8 |
5 |
11 |
4 |
|
О6 |
11 |
8 |
3 |
6 |
8 |
0/1 |
13 |
9 |
1 |
|
О7 |
2 |
5 |
10 |
7 |
5 |
13/3 |
0/1 |
8 |
4 |
|
О8 |
6 |
3 |
6/0 |
7 |
11 |
9 |
8/2 |
0 |
2 |
|
КТ |
7 |
10 |
15 |
12 |
10 |
18 |
5/1 |
9/4 |
5 |
|
Объем погрузки |
1 |
2 |
3 |
2 |
4 |
4 |
4 |
4 |
24 24 |
С помощью программы, решим задачу методом потенциалов.
Таблица 2.4 – Оптимальный план транспортной задачи
|
Получатель |
П1 |
П2 |
П3 |
П4 |
П5 |
П6 |
П7 |
П8 |
Объем выгрузки |
|
О1 |
0/1 |
3 |
8 |
5/1 |
5 |
11 |
2 |
6 |
2 |
|
О2 |
3 |
0/2 |
5 |
4 |
8 |
8/0 |
5 |
3 |
2 |
|
О3 |
8 |
5 |
0/1 |
3 |
7 |
3/1 |
10 |
6 |
2 |
|
О4 |
5 |
4 |
3 |
0/1 |
4 |
6/1 |
7 |
7 |
2 |
|
О5 |
5 |
8 |
7 |
4 |
0/4 |
8/0 |
5 |
11 |
4 |
|
О6 |
11 |
8 |
3 |
6 |
8 |
0/1 |
13 |
9 |
1 |
|
О7 |
2 |
5 |
10 |
7 |
5 |
13/1 |
0/3 |
8 |
4 |
|
О8 |
6 |
3 |
6/2 |
7 |
11 |
9 |
8 |
0 |
2 |
|
КТ |
7 |
10 |
15 |
12 |
10 |
18 |
5/1 |
9/4 |
5 |
|
Объем погрузки |
1 |
2 |
3 |
2 |
4 |
4 |
4 |
4 |
24 24 |
F= 5*1 + 0*2 + 0*1 + 3*1 + 0*1 + 6*1 + 0*4 + 0*1 + 13*1 + 0*3 + 6*2 + 5*1 + 9*4 = 80
Расчеты экономической эффективности опорного и оптимального планов представлены в таблицах 2.5 и 2.6.
l1 – расстояние от контейнерного терминала (КТ) до грузополучателя (О); l2 – расстояние от грузополучателя (О) до грузоотправителя (П); l3 – расстояние от грузоотправителя (П) до контейнерного пункта (КТ).
Таблица 2.5 – Расчет экономической эффективности опорного плана
|
Маршрут |
Количество контейнеров,A |
Расстояние |
Конт*км, Al |
|||
|
l1 |
l2 |
l3 |
||||
|
КТ- О1 гр |
2 |
7 |
|
|
14 |
|
|
П1- КТ гр |
1 |
|
|
7 |
7 |
|
|
О1 - П2 ПОР |
1 |
|
3 |
|
3 |
|
|
П2- КТ Р |
1 |
|
|
10 |
10 |
|
|
КТ- О2 гр |
2 |
10 |
|
|
20 |
|
|
П2- КТ гр |
1 |
|
|
10 |
10 |
|
|
О2- П3 пор |
1 |
|
5 |
|
5 |
|
|
П3- КТ гр |
1 |
|
|
15 |
15 |
|
|
КТ- О3 гр |
2 |
15 |
|
|
30 |
|
|
П3 - КТ ГР |
2 |
|
|
15 |
30 |
|
|
КТ- О4 гр |
2 |
12 |
|
|
24 |
|
|
П4 - КТ гр |
2 |
|
|
12 |
24 |
|
|
КТ- 05 гр |
4 |
10 |
|
|
40 |
|
|
П5 –КТ гр |
4 |
|
|
10 |
40 |
|
|
КТ- 06 гр |
1 |
18 |
|
|
18 |
|
|
П6 – КТ гр |
1 |
|
|
18 |
18 |
|
|
КТ- О7 гр |
4 |
5 |
|
|
20 |
|
|
П7- КТ ГР |
1 |
|
|
5 |
5 |
|
|
О7 – П6 ПОР |
3 |
|
13 |
|
39 |
|
|
П6- КТ пор |
3 |
|
|
18 |
54 |
|
|
КТ – О8 гр |
2 |
9 |
|
|
18 |
|
|
О8- П7 ПОР |
2 |
|
8 |
|
16 |
|
|
П7- КТ ГР |
2 |
|
|
5 |
10 |
|
|
КТ- П7 ПОР |
1 |
5 |
|
|
5 |
|
|
П7-КТ ГР |
1 |
|
|
5 |
|
|
|
КТ- П8 ПОР |
4 |
9 |
|
|
36 |
|
|
П8-КТ ГР |
4 |
|
|
9 |
36 |
|
|
Всего |
547 |
|
|
|
|
|
Таблица 2.6 – Расчет экономической эффективности оптимального плана
|
Маршрут |
Количество контейнеров,A |
Расстояние |
Конт*км, Al |
|||
|
l1 |
l2 |
l3 |
||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
КТ- О1 гр |
2 |
7 |
|
|
14 |
|
|
П1- КТ гр |
1 |
|
|
7 |
7 |
|
|
О1 - П4 ПОР |
1 |
|
5 |
|
5 |
|
|
П4- КТ ГР |
1 |
|
|
12 |
12 |
|
|
КТ- О2 гр |
2 |
10 |
|
|
20 |
|
|
П2- КТ гр |
2 |
|
|
10 |
20 |
|
|
КТ- О3 гр |
2 |
15 |
|
|
30 |
|
|
П3 - КТ ГР |
1 |
|
|
15 |
15 |
|
|
О3- П6 ПОР |
1 |
|
3 |
|
3 |
|
|
П6 - КТ гр |
1 |
|
|
18 |
18 |
|
|
КТ- 04 гр |
2 |
12 |
|
|
24 |
|
|
П4–КТ гр |
1 |
|
|
12 |
12 |
|
|
04- П6 ПОР |
1 |
|
6 |
|
6 |
|
|
П6 – КТ гр |
1 |
|
|
18 |
18 |
|
|
КТ- О5 гр |
4 |
10 |
|
|
40 |
|
|
П5- КТ ГР |
4 |
|
|
10 |
40 |
|
|
КТ – О6 ГР |
1 |
18 |
|
|
18 |
|
|
П6- КТ ГР |
1 |
|
|
18 |
18 |
|
|
КТ – О7 гр |
4 |
5 |
|
|
20 |
|
|
П7- КТ ГР |
3 |
|
|
5 |
15 |
|
|
О7- П6 ПОР |
1 |
|
13 |
|
13 |
|
|
П6- КТ ГР |
1 |
|
|
18 |
18 |
|
|
КТ- 08 ГР |
2 |
9 |
|
|
18 |
|
|
О8- П3 ПОР |
2 |
|
6 |
|
12 |
|
|
П3- КТ ГР |
2 |
|
|
15 |
30 |
|
|
КТ- П7 ПОР |
1 |
5 |
|
|
5 |
|
|
П7-КТ ГР |
1 |
|
|
5 |
|
|
|
КТ- П8 ПОР |
4 |
9 |
|
|
36 |
|
|
П8-КТ ГР |
4 |
|
|
9 |
36 |
|
|
Всего |
523 |
|||||
Вывод: Расчет показал, что оптимальный план, решенный методом потенциалов, дешевле опорного плана на 24 конт-км.