2 Оптимизация плана работы автотранспорта при осуществлении централизованного завоза-вывоза контейнеров

Для оптимизации плана работы автотранспорта используется транспортная задача. Общая постановка транспортной задачи состоит в определение оптимального плана перевозок некоторого однородного груза из m пунктов отправления (А₁, А₂, А_m) в n пунктов назначения (В₁, В₂, В_n). В качестве критериев эффективности используются критерии пробега, времени и стоимости.

Транспортная задача записывается в виде матрицы, в которой потребитель записывается по столбцам, а поставщик - по строкам. На пересечении строк и столбцов записывается размер поставки и затраты на перевозку.

Рассмотрим математическую модель прикрепления пунктов назначения к пунктам отправления. Имеется n потребителей и m поставщиков, мощность i-го поставщика (i=1, m)→., спрос j-го потребителя j (j=1, n)→. Общая сумма затрат F. Затраты на перевозку одной тонны груза обозначаются как C_ij, а размер поставки - .

Математическая модель имеет вид:

, (2.1)

Задача имеет следующие ограничения:

1) Объем поставок i-го поставщика должен равняться количеству имеющегося у него груза:

2) Объем поставок j -го потребителя должен равняться его спросу:

3) Объем поставки должен выражаться неотрицательным числом:

, (2.4)

Условие разрешимости транспортной задачи запас грузов поставщиков должен равняться суммарному спросу потребителя:

В том случае, когда модель является незакрытой, ее необходимо привести к закрытой форме. Если нет равенства в задаче, вводится фиктивный отправитель или получатель.

Расстояние между получателем и отправителем находится по формуле:

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.

Условие баланса не соблюдается. Задача открытая. Приводим к закрытой с помощью ввода фиктивного КТ 28 – 26 = 2.

Условие баланса соблюдается.

Занесем исходные данные в распределительную таблицу 2.1.

Таблица 2.1 – Распределительная таблица

Получатель	П1	П2	П3	П4	П5	П6	П7	П8	КТ	Объем выгрузки
О1	0	3	9	3	3	5	7	14	4	1
О2	3	0	12	0	4	5	6	17	1	6
О3	9	12	0	12	8	7	10	7	13	5
О4	3	0	12	0	4	5	6	17	1	5
О5	3	4	8	4	0	1	4	13	5	5
О6	5	5	7	5	1	0	3	12	6	2
О7	7	6	10	6	4	3	0	13	5	2
О8	14	17	7	17	13	12	13	0	18	2
Объем погрузки	0	2	6	6	6	4	2	0	2	28 28

План, при котором функция принимает свое минимальное значение, называется оптимальным планом.

Составим начальный опорный план, приведенный в таблице 2.2.

Таблица 2.2 – Опорный план транспортной задачи

Получатель	П1	П2	П3	П4	П5	П6	П7	П8	КТ	Объем выгрузки
О1	0(0)	3	9(1)	3	3	5	7	14	4	1
О2	3	0(2)	12	0(1)	4(1)	5(2)	6	17	1	6
О3	9	12	0(5)	12	8	7	10	7	13	5
О4	3	0	12	0(5)	4	5	6	17	1	5
О5	3	4	8	4	0(5)	1	4	13	5	5
О6	5	5	7	5	1	0(2)	3	12	6	2
О7	7	6	10	6	4	3	0(2)	13	5	2
О8	14	17	7	17	13	12	13	0(0)	18(2)	2
Объем погрузки	0	2	6	6	6	4	2	0	2	0

Проверим опорный план на условие вырожденности / невырожденности. Число занятых клеток таблицы, их 11, а должно быть m + n - 1 = 16. Следовательно, опорный план является вырожденным. Для получения невырожденного плана принудительно добавляем нуль [0] в клетку (3;5); (6;8); (3;5); (1;7); (2;5).

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_j. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_j = c_ij, полагая, что u₁ = 0. u1 + v1 = 0; 0 + v1 = 0; v1 = 0

u1 + v2 = 3; 0 + v2 = 3; v2 = 3

u2 + v2 = 0; 3 + u2 = 0; u2 = -3

u2 + v3 = 12; -3 + v3 = 12; v3 = 15

u3 + v3 = 0; 15 + u3 = 0; u3 = -15

u3 + v4 = 12; -15 + v4 = 12; v4 = 27

u4 + v4 = 0; 27 + u4 = 0; u4 = -27

u4 + v5 = 4; -27 + v5 = 4; v5 = 31

u5 + v5 = 0; 31 + u5 = 0; u5 = -31

u5 + v6 = 1; -31 + v6 = 1; v6 = 32

u6 + v6 = 0; 32 + u6 = 0; u6 = -32

u8 + v6 = 12; 32 + u8 = 12; u8 = -20

u8 + v9 = 18; -20 + v9 = 18; v9 = 38

u7 + v7 = 0; 0 + u7 = 0; u7 = 0

u7 + v7 = 0; 0 + v7 = 0; v7 = 0

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u_i+ v_j > c_ij (1;3): 0 + 15 > 9; ∆₁₃ = 0 + 15 - 9 = 6 (1;4): 0 + 27 > 3; ∆₁₄ = 0 + 27 - 3 = 24 (1;5): 0 + 31 > 3; ∆₁₅ = 0 + 31 - 3 = 28 (1;6): 0 + 32 > 5; ∆₁₆ = 0 + 32 - 5 = 27 (1;9): 0 + 38 > 4; ∆₁₉ = 0 + 38 - 4 = 34 (2;4): -3 + 27 > 0; ∆₂₄ = -3 + 27 - 0 = 24 (2;5): -3 + 31 > 4; ∆₂₅ = -3 + 31 - 4 = 24 (2;6): -3 + 32 > 5; ∆₂₆ = -3 + 32 - 5 = 24 (2;9): -3 + 38 > 1; ∆₂₉ = -3 + 38 - 1 = 34 (3;5): -15 + 31 > 8; ∆₃₅ = -15 + 31 - 8 = 8 (3;6): -15 + 32 > 7; ∆₃₆ = -15 + 32 - 7 = 10 (3;9): -15 + 38 > 13; ∆₃₉ = -15 + 38 - 13 = 10 (4;9): -27 + 38 > 1; ∆₄₉ = -27 + 38 - 1 = 10 (5;9): -31 + 38 > 5; ∆₅₉ = -31 + 38 - 5 = 2 (7;3): 0 + 15 > 10; ∆₇₃ = 0 + 15 - 10 = 5 (7;4): 0 + 27 > 6; ∆₇₄ = 0 + 27 - 6 = 21 (7;5): 0 + 31 > 4; ∆₇₅ = 0 + 31 - 4 = 27 (7;6): 0 + 32 > 3; ∆₇₆ = 0 + 32 - 3 = 29 (7;9): 0 + 38 > 5; ∆₇₉ = 0 + 38 - 5 = 33 max(6,24,28,27,34,24,24,24,34,8,10,10,10,2,5,21,27,29,33) = 34

Значения ∆ для обеих клеток одинаковые, следовательно выбираем любое звено неоптимальности. Звено неоптимальности - клетка (2;9)

Составим контур перераспределения ресурсов (1,9 → 1,2 → 2,2 → 2,3 → 3,3 → 3,4 → 4,4 → 4,5 → 5,5 → 5,6 → 8,6 → 8,9). Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (1, 2) = 1. Прибавляем 1 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 1 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.. Из грузов х_ij, стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее. В результате получим новый опорный план, представленный в таблице 2.3.

Таблица 2.3 – Новый опорный план транспортной задачи

Получатель	П1	П2	П3	П4	П5	П6	П7	П8	КТ	Объем выгрузки
О1	0(0)	3(1)	9	3	3	5	7	14	4	1
О2	3	0(1)	12(5)	0	4	5	6	17	1	6
О3	9	12	0(1)	12(4)	8	7	10	7	13	5
О4	3	0	12	0(2)	4(3)	5	6	17	1	5
О5	3	4	8	4	0(3)	1(2)	4	13	5	5
О6	5	5	7	5	1	0(2)	3	12	6	2
О7	7	6	10	6	4	3	0(2)	13	5	2
О8	14	17	7	17	13	12	13	0	18(2)	2
Объем погрузки	0	2	6	6	6	4	2	0	2

С помощью программы, решим задачу методом потенциалов.

Таблица 2.4 – Оптимальный план транспортной задачи

Получатель	П1	П2	П3	П4	П5	П6	П7	П8	КТ	Объем выгрузки
О1	0(0)	3	9	3	3(1)	5	7	14	4	1
О2	3	0(2)	12	0(1)	4(1)	5	6	17	1(2)	6
О3	9	12	0(5)	12	8	7	10	7	13	5
О4	3	0	12	0(5)	4	5	6	17	1	5
О5	3	4	8	4	0(4)	1(1)	4	13	5	5
О6	5	5	7	5	1	0(2)	3	12	6	2
О7	7	6	10	6	4	3(0)	0(2)	13	5	2
О8	14	17	7(1)	17	13	12(1)	13	0(0)	18	2
Объем погрузки	0	2	6	6	6	4	2	0	2

F=

Расчеты экономической эффективности опорного и оптимального планов представлены в таблицах 2.5 и 2.6.

l₁ – расстояние от контейнерного терминала (КТ) до грузополучателя (О); l₂ – расстояние от грузополучателя (О) до грузоотправителя (П); l₃ – расстояние от грузоотправителя (П) до контейнерного пункта (КТ).

Таблица 2.5 – Расчет экономической эффективности опорного плана

Маршрут	Количество контейнеров,U	Расстояние				Конт*км, Ul
		l1	l2	l3
КТ- О1 гр О1- П3 пор П3 - КТ гр	1 1 1	4	9	4	4 9 4
КТ- О2 гр	6	1			6
П2- КТ гр	2			1	2
О2- П4 пор	1		0		0
П4-КТ гр	1			1	1
О2-П5 пор	1		4		4
П5-КТ гр	1			1	1
О2-П6 пор	2		5		10
П6-КТ гр	2			1	2
КТ- О3 гр	5	13			65
П3- КТ гр	5			13	65
КТ - О4 гр П4- КТ гр	5 5	1		1	5 5
КТ – О5 гр П5- КТ гр	5 5	5		5	25 25
КТ – О6 гр П6- КТ гр	2 2	2		2	4 4
КТ – О7 гр П7- КТ пор	2 2	5		5	10 10
КТ – О8 пор О8- КТ пор	2 2	18		18	36 36
Всего							333

Таблица 2.6 – Расчет экономической эффективности оптимального плана

Маршрут	Количество контейнеров,U	Расстояние			Конт*км, Ul
		l1	l2	l3
КТ-О1гр	1	4			4
о1-п5пор	1		3		3
П5-КТгр	1			4	4
КТ-о2гр	1	1			6
П2-КТпор	6			1	2
О2-П4пор	2		0		0
П4-КТгр	1			1	1
О2-П5гр	1		4		4
П5-КТгр	1			1	1
О2-КТгр	2			1	2
КТ-О3 гр	5	13			65
П3-КТгр	5			13	65
КТ-О4гр	5	1			5
П4-КТгр	5			1	5
КТ-О5гр	5	5			25
П5-КТгр	4			5	20
О5-П6гр	1		1		1
П6-КТ гр	1			5	5
КТ-О6гр	2	2			4
П6-КТгр	2			2	4
КТ-О7гр	2	3			6
П7-КТгр	2			5	10
КТ-О8гр	2	18			36
О8-П3пор	1		7		7
П3-КТгр	1			18	18
О8-П6пор	1		12		12
П6-КТпор	1			18	18
Всего:					330

Вывод: Расчет показал, что оптимальный план, решенный методом потенциалов, дешевле опорного плана на 3 конт-км.