2. Множественная зависимость
2.1. Нахождение оценок коэффициентов множественной линейной регрессионной модели по методу наименьших квадратов.
Таблица 5
i |
yi |
xi1 |
xi12 |
xi1*yi |
xi2 |
xi22 |
xi2*yi |
xi1* xi2 |
1 |
9,0 |
5,0 |
25,0 |
45,0 |
119,0 |
14161,0 |
1071,0 |
595 |
2 |
8,6 |
4,0 |
16,0 |
34,4 |
89,0 |
7921,0 |
765,4 |
356 |
3 |
7,4 |
6,0 |
36,0 |
44,4 |
114,0 |
12996,0 |
843,6 |
684 |
4 |
4,4 |
7,0 |
49,0 |
30,8 |
54,0 |
2916,0 |
237,6 |
378 |
5 |
5,6 |
7,0 |
49,0 |
39,2 |
82,0 |
6724,0 |
459,2 |
574 |
6 |
4,2 |
8,0 |
64,0 |
33,6 |
78,0 |
6084,0 |
327,6 |
624 |
7 |
10,3 |
3,0 |
9,0 |
30,9 |
104,0 |
10816,0 |
1071,2 |
312 |
8 |
9,3 |
5,0 |
25,0 |
46,5 |
145,0 |
21025,0 |
1348,5 |
725 |
9 |
5,5 |
7,0 |
49,0 |
38,5 |
83,0 |
6889,0 |
456,5 |
581 |
10 |
8,4 |
4,0 |
16,0 |
33,6 |
84,0 |
7056,0 |
705,6 |
336 |
11 |
9,7 |
4,0 |
16,0 |
38,8 |
139,0 |
19321,0 |
1348,3 |
556 |
12 |
11,0 |
3,0 |
9,0 |
33,0 |
147,0 |
21609,0 |
1617,0 |
441 |
13 |
10,4 |
3,0 |
9,0 |
31,2 |
132,0 |
17424,0 |
1372,8 |
396 |
14 |
9,4 |
4,0 |
16,0 |
37,6 |
123,0 |
15129,0 |
1156,2 |
492 |
15 |
9,3 |
4,0 |
16,0 |
37,2 |
112,0 |
12544,0 |
1041,6 |
448 |
16 |
10,8 |
3,0 |
9,0 |
32,4 |
125,0 |
15625,0 |
1350,0 |
375 |
Сумма |
133,3 |
77,0 |
413,0 |
587,1 |
1730,0 |
198240,0 |
15172,1 |
7873 |
,
.
Найдем матрицу (XTX)-1, обратную к матрице XTX.
Главный определитель:
=16*413*198240+77*7873*1730+77*7873*1730–1730*413*1730–77*77*198240–7873*7873*16
= 4 315 856,00.
Определим матрицу алгебраических дополнений:
,
где
.
Мij
– это минор элемента, стоящего на
пересечении i-й
строки
и j-го
столбца матрицы XTX.
=19 888 991,0.
=
- 1 644 190,0.
=
-108 269,0.
=
- 1 644 190,0.
=
178 940,0.
=
7 242,0.
=
-108 269,0.
=
7242,0.
=
679,0.
.
Составляем присоединенную матрицу.
(XTX)*
= DT
=
.
.
Находим вектор оценок А:
.
Таким
образом, оценки коэффициентов множественной
линейной регрессионной модели:
.
2.2. Проверка статистической значимости параметров и уравнения множественной линейной регрессии с надежностью 0,9.
Таблица 6
i |
yi |
xi1 |
xi2 |
|
|
ei |
|
1 |
9,0 |
5,0 |
119 |
81 |
7,7583 |
1,2417 |
1,5418 |
2 |
8,6 |
4,0 |
89 |
73,96 |
8,0587 |
0,5413 |
0,2930 |
3 |
7,4 |
6,0 |
114 |
54,76 |
6,6634 |
0,7366 |
0,5426 |
4 |
4,4 |
7,0 |
54 |
19,36 |
4,3200 |
0,0800 |
0,0064 |
5 |
5,6 |
7,0 |
82 |
31,36 |
4,9556 |
0,6444 |
0,4153 |
6 |
4,2 |
8,0 |
78 |
17,64 |
3,8834 |
0,3166 |
0,1002 |
7 |
10,3 |
3,0 |
104 |
106,09 |
9,3806 |
0,9194 |
0,8453 |
8 |
9,3 |
5,0 |
145 |
86,49 |
8,3485 |
0,9515 |
0,9054 |
9 |
5,5 |
7,0 |
83 |
30,25 |
4,9783 |
0,5217 |
0,2722 |
10 |
8,4 |
4,0 |
84 |
70,56 |
7,9452 |
0,4548 |
0,2068 |
11 |
9,7 |
4,0 |
139 |
94,09 |
9,1937 |
0,5063 |
0,2563 |
12 |
11,0 |
3,0 |
147 |
121 |
10,3567 |
0,6433 |
0,4138 |
13 |
10,4 |
3,0 |
132 |
108,16 |
10,0162 |
0,3838 |
0,1473 |
14 |
9,4 |
4,0 |
123 |
88,36 |
8,8305 |
0,5695 |
0,3243 |
15 |
9,3 |
4,0 |
112 |
86,49 |
8,5808 |
0,7192 |
0,5172 |
16 |
10,8 |
3,0 |
125 |
116,64 |
9,8573 |
0,9427 |
0,8887 |
Сумма |
133,3 |
77 |
1730 |
1186,21 |
123,127 |
10,1728 |
7,6767 |
.
.
75,6410
Коэффициент
детерминации:
=
0,8985.
Коэффициент детерминации = 0,8985. Следовательно, регрессия y на x1 и x2 объясняет 89,85% колебаний значений y. Это свидетельствует о значительном суммарном влиянии независимых переменных x1 и x2 на зависимую переменную y.
Выдвигаем гипотезу H0 о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи.
Фактическое значение F-статистики Фишера:
df1 = m = 2, df2 = n-m-1 = 16-2-1=13.
=6,5.
Статистической надежности 0,9 соответсвует уровень значимости (α) = 0,1. При уровне значимости 0,1, df1 = 2, df2 = 13 табличное значение Fm = 2,7632.
Fm
<
[2,7632
<
6,5].
Поскольку неравенство Fm < выполняется, то гипотеза H0: α1 = 0, α2 = 0 отклоняется и признается статистическая значимость уравнения регрессии.
2.3. Точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей возраста 3 года и мощностью двигателя 165 л.с. с доверительной вероятностью 0,95.
а)
Под
точечным
прогнозом
среднего значения цены новой партии
автомобилей понимается значение
,
где
– вектор независимых переменных, для
которого определяется прогноз.
= 3 года – это возраст автомобиля.
= 165 л.с. – это мощность двигателя.
Определяем
вектор независимых переменных
Находим точечный прогноз:
=
9,9640 – 0,9814*3 + 0,0227*165 = 10,7653 тыс. у.е.
б) Под интервальным прогнозом среднего значения цены автомобилей понимается доверительный интервал цены, который находится по формуле:
,
где
- верхняя граница доверительного
интервала,
– нижняя граница доверительного
интервала;
- вектор независимых переменных, для
которого определяется интервал.
,
,
.
Находим интервальный прогноз:
=0,5905.
=0,7684.
Доверительная вероятность = 0,95. Тогда уровень значимости = 0,05.
11,9492
тыс. у.е.
=10,7653
- (2,1604*0,5480) = 9,5814 тыс. у.е.
Таблица 7
|
Точечный прогноз |
|
Интервальный прогноз |
|
|
|
|
||
(1; 3; 165) |
10,7653 |
0,5480 |
9,5814 |
11,9492 |
