1. Парные зависимости.

1.1. Построение полей рассеяния.

На основе визуального анализа поля рассеяния выдвигаю гипотезу о том, что зависимость цены y от возраста автомобиля x₁ описывается линейной моделью вида: y = a₀ + a₁x₁ + ε, где a₀, a₁ – неизвестные постоянные коэффициенты, ε - случайная переменная, отражающая влияние неучтенных факторов от погрешностей измерений.

На основе визуального анализа поля рассеяния выдвигаю гипотезу о том, что зависимость цены y от мощности автомобиля x₁ описывается линейной моделью вида: y = β₀ + β₁x₂ + δ, где β₀, β₁ – неизвестные постоянные коэффициенты, δ - случайная переменная, отражающая влияние неучтенных факторов от погрешностей измерений.

2.2. Вычисление оценок параметров моделей.

Таблица 2

i	yi	yi2	xi1	xi12	xi1*yi	xi2	xi22	xi2*yi
1	9,0	81,0	5,0	25,0	45,0	119,0	14161,0	1071,0
2	8,6	73,96	4,0	16,0	34,4	89,0	7921,0	765,4
3	7,4	54,76	6,0	36,0	44,4	114,0	12996,0	843,6
4	4,4	19,36	7,0	49,0	30,8	54,0	2916,0	237,6
5	5,6	31,36	7,0	49,0	39,2	82,0	6724,0	459,2
6	4,2	17,64	8,0	64,0	33,6	78,0	6084,0	327,6
7	10,3	106,09	3,0	9,0	30,9	104,0	10816,0	1071,2
8	9,3	86,49	5,0	25,0	46,5	145,0	21025,0	1348,5
9	5,5	30,25	7,0	49,0	38,5	83,0	6889,0	456,5
10	8,4	70,56	4,0	16,0	33,6	84,0	7056,0	705,6
11	9,7	94,09	4,0	16,0	38,8	139,0	19321,0	1348,3
12	11,0	121,0	3,0	9,0	33,0	147,0	21609,0	1617,0
13	10,4	108,16	3,0	9,0	31,2	132,0	17424,0	1372,8
14	9,4	88,36	4,0	16,0	37,6	123,0	15129,0	1156,2
15	9,3	86,49	4,0	16,0	37,2	112,0	12544,0	1041,6
16	10,8	116,64	3,0	9,0	32,4	125,0	15625,0	1350,0
Сумма	133,3	1186,21	77,0	413,0	587,1	1730,0	198240,0	15172,1

Среднее значение возраста автомобилей:

Среднее значение цены автомобилей:

Среднее значение мощности двигателей автомобилей:

= = -1,2821.

.

Следовательно, уравнение линейной регрессии примет вид:

β₁ = = = .

Следовательно, уравнение линейной регрессии примет вид:

1.3. Коэффициент парной корреляции характеризует тесноту линейной зависимости между x и y.

Коэффициент парной корреляции для линейной зависимости «Возраст – цена».

Коэффициент парной корреляции для линейной зависимости «Мощность двигателя – цена».

Проверка значимости коэффициента парной корреляции.

где - квантиль распределения Стьюдента, (n – 2) – число степеней свободы.

Статистической надежности в 90% соответствует доверительная вероятность 0,9. Соответственно, уровень значимости (α) при надежности 90% равен 0,1.

= =1,7613.

Для получаем:

Условие выполняется, следовательно коэффициент корреляции существенно отличается от нуля, и существует сильная линейная отрицательная связь между ценой и возрастом автомобиля.

Для получаем:

.

Условие выполняется, следовательно, коэффициент корреляции существенно отличается от нуля, и существует сильная линейная положительная связь между ценой автомобиля и мощностью двигателя.

1.4. Проверка статистической значимости параметров и уравнений регрессии с надежностью 0,9.

Для зависимости цены от возраста автомобиля коэффициент детерминации:

R² = = = 0,9220. То есть вариация цены на 92,2% объясняется вариацией возраста автомобиля.

Для зависимости цены от мощности двигателя автомобиля коэффициент детерминации:

R² = = = 0,6810. То есть вариация цены на 68,1% объясняется вариацией мощности двигателя.

Рассчитаем фактическое значение F-статистики Фишера по формуле:

Для зависимости «Возраст – цена» фактическое значение F-статистики Фишера:

= 165,4872.

Для зависимости «Возраст – цена» фактическое значение F-статистики Фишера:

= 29,8871.

F- распределение Фишера зависит от степеней свободы df₁ и df₂ и от уровня значимости. Количество степеней свободы df₁ равно числу m объясняющих переменных модели. Для парной регрессии число m = 1, поэтому df₁ = 1. Количество степеней свободы df₂ определяется объемом выборки n за вычетом числа объясняющих переменных модели df₁, минус единица. В данном случае, df₂ = 16 – 1 – 1 = 14.

Статистической надежности 0,9 соответствует доверительная вероятность 0,9. Соответственно, уровень значимости (α), соответствующий надежности 0,9, равен 0,1.

При уровне значимости α = 0,1 табличное значение F_m = 3,10221.

Качество уровня регрессии оценивает F-тест (проверка гипотезы H₀ о статистической незначимости уровня регрессии и показателя тесноты связи). Сравниваем фактической значение F_ф и табличное значение F_m. Если F_m < F_ф, то гипотеза H₀ отклоняется, и признается статистическая значимость уравнения регрессии. Если F_m > F_ф, то гипотеза H₀ не отклоняется, и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

Для зависимости «Возраст – цена» выполняется неравенство F_m < F_ф [3,10221 < 165,4872], гипотеза H₀ отклоняется, и признается статистическая значимость уравнения регрессии.

Для зависимости «Мощность двигателя – цена» также выполняется неравенство F_m < F_ф [3,10221 < 29,8871], гипотеза H₀ отклоняется, и признается статистическая значимость уравнения регрессии.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии используется t – критерий Стьюдента. Выдвигается гипотеза H₀: α_j = 0 о незначимом отклонении от нуля каждого отдельного параметра модели. Если для параметра α_j модуль фактического значения t-статистики превышает табличное , то гипотеза H₀ отклоняется, и отклонение от нуля параметра α_j признается значимым. В противном случае гипотеза H₀ принимается.

Для парной регрессии существует связь между статистиками Стьюдента и Фишера:

= F.

Для зависимости «Возраст – цена» получаем:

= 12,8642.

= = 1,7613.

.

Поскольку выполняется неравенство, гипотеза H₀ отклоняется, и отклонение от нуля параметра α₁ признается значимым.

Для зависимости «Мощность двигателя – цена» получаем:

= 5,4669.

= = 1,761.

Поскольку выполняется неравенство, гипотеза H₀ отклоняется, и отклонение от нуля параметра β₁ признается значимым.

1.5. Доверительная полоса для теоретического уравнения регрессии – это множество доверительных интервалов, содержащихся между нижней и верхней доверительными границами неравенства .

Доверительные интервалы среднего значения цены для y = α₀ + α₁x₁:

,

где , - соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала в точке . - значение независимой переменной x₁, для которого определяется доверительный интервал, .

Стандартная ошибка :

.

Остаточная дисперсия уравнения регрессии:

,

Построение доверительной полосы для среднего значения цены автомобиля в зависимости от его возраста (с надежностью 0,95). При статистической надежности 0,95 уровень значимости (α) = 0,05.

Таблица 3

i	yi		xi1				ei				(xi1 - )2		Корень		*2,1448
1	9,0		5,0		8,0909		0,9091		0,8265		0,0352		0,2517		0,1871		7,7404		8,4414
2	8,6		4,0		9,373		-0,773		0,5975		0,6602		0,2794		0,2077		8,9839		9,7621
3	7,4		6,0		6,8088		0,5912		0,3495		1,4102		0,3094		0,2300		6,3779		7,2397
4	4,4		7,0		5,5267		-1,1267		1,2695		4,7852		0,4186		0,3112		4,9436		6,1098
5	5,6		7,0		5,5267		0,0733		0,0054		4,7852		0,4186		0,3112		4,9436		6,1098
6	4,2		8,0		4,2446		-0,0446		0,0020		10,1602		0,5495		0,4085		3,4793		5,0099
7	10,3		3,0		10,6551		-0,3551		0,1261		3,2852		0,3740		0,2781		10,1341		11,1761
8	9,3		5,0		8,0909		1,2091		1,4619		0,0352		0,2517		0,1871		7,7404		8,4414
9	5,5		7,0		5,5267		-0,0267		0,0007		4,7852		0,4186		0,3112		4,9436		6,1098
10	8,4		4,0		9,373		-0,973		0,9467		0,6602		0,2794		0,2077		8,9839		9,7621
11	9,7		4,0		9,373		0,327		0,1069		0,6602		0,2794		0,2077		8,9839		9,7621
12	11,0		3,0		10,6551		0,3449		0,1190		3,2852		0,3740		0,2781		10,1341		11,1761
13	10,4		3,0		10,6551		-0,2551		0,0651		3,2852		0,3740		0,2781		10,1341		11,1761
14	9,4		4,0		9,373		0,027		0,0007		0,6602		0,2794		0,2077		8,9839		9,7621
15	9,3		4,0		9,373		-0,073		0,0053		0,6602		0,2794		0,2077		8,9839		9,7621
16	10,8		3,0		10,6551		0,1449		0,0210		3,2852		0,3740		0,2781		10,1341		11,1761
Сумма		77		133,3		0		5,9038		42,4375		5,5111		4,0972		125,6247		140,9767
Среднее		4,8125		8,3313		0,0000		0,3690		2,6523		0,3444		0,2561		7,8515		8,8110

В графе «Корень» таблицы рассчитаны значения квадратного корня в :

= 0,6494.

Коэффициент детерминации: =0,9220. Совпадает с результатами, полученными в п.1.4. [R² = = = 0,9220.]

На рис. 3 показаны: поле рассения, линия регрессии ; доверительные интервалы. Самое узкое место доверительной полосы соответствует среднему значению аргумента. . На рис. 3 проведена вертикальная прямая x = 4,8125. В этой точке доверительный интервал минимальный.

Построение доверительной полосы для среднего значения цены автомобиля в зависимости от мощности двигателя (с надежностью 0,95).

Таблица 4

i	yi		xi2				ei				(xi2 - )2		Корень		*2,1448
1	9,0		119,0		9,0697		-0,0697		0,0049		118,2656		0,2703		0,7614		8,7994		9,8311
2	8,6		89,0		7,0327		1,5673		2,4564		365,7656		0,3086		0,8691		6,7241		7,9018
3	7,4		114,0		8,7302		-1,3302		1,7694		34,5156		0,2561		0,7213		8,4741		9,4515
4	4,4		54,0		4,6562		-0,2562		0,0656		2929,5156		0,5696		1,6043		4,0866		6,2605
5	5,6		82,0		6,5574		-0,9574		0,9166		682,5156		0,3515		0,9899		6,2059		7,5473
6	4,2		78,0		6,2858		-2,0858		4,3506		907,5156		0,3790		1,0675		5,9068		7,3533
7	10,3		104,0		8,0512		2,2488		5,0571		17,0156		0,2530		0,7127		7,7982		8,7639
8	9,3		145,0		10,8351		-1,5351		2,3565		1359,7656		0,4291		1,2085		10,4060		12,0436
9	5,5		83,0		6,6253		-1,1253		1,2663		631,2656		0,3449		0,9714		6,2804		7,5967
10	8,4		84,0		6,6932		1,7068		2,9132		582,0156		0,3384		0,9532		6,3548		7,6464
11	9,7		139,0		10,4277		-0,7277		0,5295		953,2656		0,3844		1,0826		10,0433		11,5103
12	11,0		147,0		10,9709		0,0291		0,0008		1511,2656		0,4446		1,2521		10,5263		12,2230
13	10,4		132,0		9,9524		0,4476		0,2003		570,0156		0,3369		0,9488		9,6155		10,9012
14	9,4		123,0		9,3413		0,0587		0,0034		221,2656		0,2869		0,8079		9,0544		10,1492
15	9,3		112,0		8,5944		0,7056		0,4979		15,0156		0,2527		0,7117		8,3417		9,3061
16	10,8		125,0		9,4771		1,3229		1,7501		284,7656		0,2966		0,8354		9,1805		10,3125
Сумма		1730,0		133,30		0,00		24,1388		11183,750
Среднее		108,125				0,00		1,5087

.

= 1,3131.

Коэффициент детерминации: = 0,6810. Совпадает с результатами, полученными в п.1.4 [R² = = = 0,6810].

На рис. 4 показаны: поле рассения, линия регрессии: доверительные интервалы. Самое узкое место доверительной полосы соответствует среднему значению аргумента. . На рис. 4 проведена вертикальная прямая x = 108,1250. В этой точке доверительный интервал минимальный.

1.6. Точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей в зависимости от возраста и мощности двигателя с доверительной вероятностью 0,95.

Рассчитаем точечный и интервальный прогноз средней цены поступивших автомобилей по первой регрессионной модели + ε. Возраст автомобилей – 3 года, поэтому = 3. Точечный прогноз средней цены:

= 10,6551 у.е.

Интервальный прогноз средней цены в зависимости от возраста автомобилей:

Стандартная ошибка :

= 0,2429.

= 10,6551+(2,1448*0,2429) = 11,1761 у.е.

= 10,6551-(2,1448*0,2429) = 10,1341 у.е.

Рассчитаем точечный и интервальный прогноз средней цены поступивших автомобилей по второй регрессионной модели . Мощность двигателей автомобилей = 165 л.с., поэтому = 165. Точечный прогноз средней цены:

12,1931 у.е.

Интервальный прогноз средней цены в зависимости от мощности двигателя:

Стандартная ошибка :

0,7788.

= 12,1931+(2,1448*0,7788) = 13,8634 у.е.

= 12,1931-(2,1448*0,7788) =10,5228 у.е.