Модель помех при приеме сигналов в ар
Основная проблема связана с тем, что вместе с информативным сигналом в системе действует и помеха. Будем считать, что помеха представляет совокупность M точечных источников расположенных в пространстве.
В этом случае в i-м элементе АР мешающее воздействие от m-го источника помехи можно записать
(1.11)
Здесь Um(t) и φm(t) – временные процессы, определяющие изменение во времени амплитуды и фазы сигнала от m-го источника. Так как априорной информации о помехе как правило нет, то эти правильнее всего считать случайными. Модель помехи в виде случайного процесса связана с тем, что, как правило, мы о ней априорно ничего не знаем.
Сделаем пояснение по поводу случайного процесса. Так мы знаем, что случайная величина может принимать любые значения из определенного диапазона. А случайный процесс – это функция времени, значение которой в любой момент времени – это случайная величина. Фактически случайный процесс – это совокупность (бесконечная) случайных величин. А именно если зафиксировать момент времени t=t1 , то в этот момент Um(t1) и φm(t1) – случайные величины. Известно, что характеристикой случайных величин является плотность вероятности.
f(x)
x
Рис.1.11.
a
b
На рис.1.11 показана плотность вероятность некоторой случайной величины X. И если нас интересует вероятность того, что эта случайная величина X примет значение в интервале от a до b, то ее можно найти следующим образом
Кроме плотности вероятности существуют более простые, но значительно чаще используемые на практике – математическое ожидание и дисперсия. Соотношения, определяющие эти характеристики указаны далее:
Также будем считать, что эти функции существенно более медленно изменяющиеся по сравнению cos(ω0t). В этом случае помехи (как и полезный сигнал) определяются комплексными огибающими:
(1.12)
Здесь данное соотношение представляет комплексную огибающую помехи от m-го источника в i-м элементе антенной решетки. При этом Um(t) ejφm(t) – комплексная огибающая помехи от m-го источника в первом (i=1) антенном элементе. А комплексные огибающие в других элементах АР отличаются множителями:
Для любого момента времени значение случайного процесса – это случайная величина. Поэтому если зафиксировать произвольный момент времени, то зависимость от времени можно исключить. В этом случае соотношение (1.12) можно записать следующим образом:
(1.13)
А именно в этом случае вместо случайных процессов в формуле присутствуют случайные величины.
Далее в соответствии с формулой Эйлера:
Здесь Ure,m и Uim,m -случайные гауссовские величины с нулевым математическим ожиданием и дисперсией Dm. Это дисперсия (или мощность помехи) от m-го источника. В дальнейшем для получения случайных величин Ure,m и Uim,m достаточно воспользоваться датчиком случайных гауссовских чисел.
Оптимальный вектор коэффициентов ар
Как мы уже говорили обработка в АР заключается в изменении амплитуды принимаемого сигнала в каждом элементе АР, а также изменении фазы этого сигнала. Математически это можно представить в комплексного коэффициента
для i-го антенного элемента. Всю информацию комплексных коэффициентах АР можно записать в виде N-вектора
(1.14)
Математически это сводится к вычислению комплексных весовых коэффициентов в каждом канале. При этом критерий в общем заключается в максимальном извлечении полезной информации и подавлении мешающих сигналов.
Один из основных критериев при подборе коэффициентов – это максимизация отношения сигнал/помеха на выходе АР (после объединения элементов):
(1.15)
Здесь Ui – значение комплексной огибающей помехи (от всех М мешающих источников) в i –м элементе с учетом собственного шума элемента АР.
(1.15)
Кроме того, в соотношении (1.14) М – обозначение математического ожидания. Также в этом соотношении используются значения комплексных амплитуд полезного сигнала в элементах АР:
(1.16)
Здесь θ0 – направление прихода ожидаемого полезного сигнала.
Задача
заключается в том, чтобы подобрать
таким
образом, чтобы отношение сигнал/помеха
на выходе АР было максимально. Решение
этой задачи известно и оно сводится к
оптимальному вектору в соответствии с
уравнением Винера-Хопфа:
(1.17)
Здесь μ – это постоянный коэффициент (как правило он принимается равным 1), а звездочка обозначает комплексное сопряжение.
Вектор сигнала аналогичен (АР можно записать в виде N-вектора
(1.14)
Теперь
не рассмотренной осталась корреляционная
матрица
размерностью
NxN.
Эта матрица определяет взаимную
зависимость помехи в соседних элементах
АР. Так элемент этой матрицы расположенной
на пересечении i1-й
строки и i2-столбца
элементах АР определяется
(1.15)
Здесь Dшум – дисперсия шума в элементе АР, Dm – дисперсия помехи от m-го источника, δi1,i2 – символ Кронекера:
δi1,i2 = 1 , при i1=i2,
δi1,i2 = 0 в других случаях.
Таким образом, соотношение (1.17) позволяет найти оптимальный (наилучший с точки зрения выделения сигнала и подавления помехи) вектор комплексных коэффициентов АР. Этот оптимальный вектор позволяет обеспечить максимальное отношение сигнал/помеха:
(1.16)
Таким образом, мы вычисляем оптимальный вектор комплексных коэффициентов в элементах АР по соотношению (1.17). После этого можно по ранее встречавшейся формуле найти диаграмму направленности АР соответствующую этому вектору
(1.17)
На следующем фрагменте приведена программа в которой вычисляется оптимальный вектор комплексных коэффициентов, затем по этому вектору строится ДН. Рассматривается направление прихода сигнала равное 45 градусам, направление прихода помехи
-45 градусов. Количество помех равно 1, дисперсия шума равна 1, дисперсия помехи равна 10000.
i=sqrt(-1);
tettaPom = -pi/4; % угол прихода помехи
tettaSig = pi/4; % угол прихода сигнала
D1=10000;
% заполнение элементов корреляционной матрицы помехи
for m2=1:7
for m3=1:7
f=D1*cos(pi*sin(tettaPom)*(m3-m2));
g=D1*sin(pi*sin(tettaPom)*(m3-m2));
h=f+i*g;
matr(m2,m3)=h;
if m2==m3
matr(m2,m3)=matr(m2,m3)+1 ;
end
end
end
% вычисление комплексных отсчетов сигнала S
for m2=1:7
f=cos(pi*sin(tettaSig)*(m2-1));
g=sin(pi*sin(tettaSig)*(m2-1));
h=f+i*g;
sig(m2)=h
end
% обращение корреляционной матрицы помехи
obrMatr=inv(matr);
% выполнение комплексного сопряжения и
% преобразование из вектора-строки в вектор-столбец
sig2=sig';
%нахождение оптимального вектора W
Woptim=obrMatr*sig2;
% вычисление ДН
m = 1:1:300 ;
gr=-90+180./300*m;
for m2=1:300
tetta = -pi/2+ pi/300*m2;
n=1:7;
f=cos(pi*sin(tetta)*(n-1));
g=sin(pi*sin(tetta)*(n-1));
h=f+i*g;
symma=0;
for lm=1:7
symma = symma+h(lm)*Woptim(lm);
end
diag(m2)=abs(symma);
end
max1=max(diag)
diag=10*log(diag/max1);
plot (gr,diag)
Результат работы программы показан на рис.1.12.
Рис.1.12.
Видно, что максимальное усиление ДН в направлении 45 градусов, а в направлении расположения помехи ДН имеет практически нулевое усиление.