Математическая модель сигнала.
Большинство сигналов с помощью которых передается информация являеются узкополосными. Мы также будем считать, что сигнал поступающий на АР является узкополосным. Теперь поясним этот термин. Общее функция для произвольного сигнала с информацией описывается соотношением (1.1). При этом для большинства сигналов функции U(t) и φ(t) являются существенно медленно изменяющимися во времени по сравнению с cos(ωt). В этом случае сигналы и называются узкополосными и для их описания можно пользоваться комплексной огибающей (1.2) сигнала.
(1.1)
(1.2)
В этом случае вся информация присутствующая в сигнале заключена в комплексной огибающей. В тоже время переход от комплексной огибающей реальному сигналу выполняется достаточно просто:
Теперь предполагая, что можно использовать модель комплексной огибающей (1.2), запишем основные соотношения для двухэлементной антенной решетки .
1
2
Рис.1.7.
На рис.1.7 показаны два ненаправленных антенных элемента, которые расположены на расстоянии d друг от друга. В этом случае усиление сигнала в антенном элементе одинаково для любого направления. Точечный источник электромагнитной волны расположен под углом Ө относительно нормали к АР. Будем считать источник достаточно удаленным от АР, и поэтому фронт электромагнитной волны можно считать плоским. Из рис.1.7 видно, что фронт волны плоский, и следовательно к левому элементу ( 2-му) электромагнитная волна приходит с запаздыванием относительно правого элемента
(1.3)
Здесь v - скорость волны.
Если мы рассматриваем точечный гармонический источник электромагнитной волны с частотой f 0, то время задержки сводится (1.3) сводится к фазовому сдвигу волны. Этот фазовый сдвиг
Здесь λ0 – длина волны, а также учтено соотношение v=f λ0 .
Таким образом, если в первый (правый) элемент поступает сигнал
(1.4)
то во втором элементе принимаемый сигнал будет принимать следующий вид
(1.5)
В этом случае комплексные амплитуды сигналов (1.4) и (1.5) записываются следующим образом
(1.5 а)
Так как, зависимости от времени в соотношениях (1.5 а) нет, вместо понятия комплексная огибающая используем – комплексная амплитуда.
Диаграмма направленности решетки может быть определена соотношением
(1.6)
Это соотношение – комплексная амплитуда сигнала на выходе АР в зависимости от углового положения точечного источника сигнала ( параметр θ).
В этом соотношении амплитудный множитель ( A )роли не играет, а интерес представляет зависимость от направления прихода. Если вычислить модуль комплексной функции (1.6), то он определяет амплитуду сигнала (гармонического) на выходе АР. А аргумент (1.6) представляет фазу этого сигнала на выходе АР. Первая характеристика представляет значительно больший интерес, т.к. определяет усиление или ослабление сигнала на выходе АР в зависимости от направления прихода электромагнитной волны.
Поэтому, запишем модуль диаграммы направленности следующим образом
(1.7)
В следующем фрагменте для двухэлементной антенной решетки приводится файл для системы MATHLAB, где производится вычисление диаграммы направленности по формуле (1.7). Заметим, что в этом файле в качестве расстояния между элементами берется половина длины волны.
Задание для группы ПМ-06
Программу на листинге 1 написать на С++.
Обеспечить вывод информации на график
Листинг 1.
i=sqrt(-1);
% мнимая единица
m = 1:1:100;
%вектор используемый для формирования вектора % значений ДН в следующей строке – интервал от 90
% градусов до -90
gr=-90+1.8*m;
for m2=1:100 %Цикл по количеству значений ДН
tetta = -pi/2+ pi/100*m2;
% формирование угла прихода эталонного
% сигнала
% вектор элементов АР
n=1:1:2;
f=cos(pi*sin(tetta)*(n-1));
g=sin(pi*sin(tetta)*(n-1));
% h - вектор комплесных отсчетов эталонного
% сигнала в элементах АР
h=f+i*g;
% вычисление модуля ДН
symma=0;
for lm=1:2
symma = symma+h(lm);
end
symma1=abs(symma);
diagr(m2)=symma1;
end
% нахождение максимального значения ДН
max1=max(diagr);
diagr=diagr/max1;
% При выводе значений в децибеллах убрать %следующий % комментарий
%diagr=20*log10(diagr);
plot (gr,diagr)
Выполнение программы приводит к диаграмме направленности показанной на рис.1.8.
Рис.1.8.
Задание 2 для группы ПМ-06
Рассчитать по соотношению (1.7) ДН двухэлементной АР при изменении по углу θ от -90 градусов до 90 градусов.
При
этом использовать различные отношения
:
=1.5 =5 =0.1
Вывести на одном графике ДН АР при 3 значения параметра :
0.1 , 0.5 , 1.5 .
Поясним теперь некоторые результаты - образование нулей с определенных направлений связано с тем, что фронт падающей волны проходит между элементами расстояние равное половине длины волны. Это соответствует сдвигу фазы на 180 градусов, что фактически означает вычитание сигналов и приводит полному подавлению сигнала на выходе.
Важным является то, что при сближении элементов ДН становится практически ненаправленной. А при увеличении отношения расстояния между элементами к длине волны (относительно 0.5) формируются дополнительные максимумы в ДН.
Мы рассмотрели соотношения для двух элементов. Рассмотрим теперь случай когда количество элементов N и они расположены на одной линии на одинаковом расстоянии друг от друга. Такая антенная решетка называется линейной эквидистантной.
Аналогично (1.6) можно записать диаграмму направленности для N-элементной АР
(1.8)
Задание 3 для группы ПМ-06
Вычислить и вывести на график модуль ДН по формуле (1.7) при изменении по углу θ от -90 градусов до 90 градусов.
При этом использовать =0.5
Рассмотреть случаи различных значений N (7, 20). Уменьшить расстояние между элементами в 4 раза и вывести на одном графике две ДН (с различным расстоянием между элементами АР).
Результат данной модели при N=7 показан на рис. 1.9.
Рис.1.9.
Рассмотрим теперь ситуацию когда в каждом элементе АР присутствует фазовращатель (элемент который изменяет фазу гармонического колебания на определенную величину).
2
i
1
Поворот на ψ
Поворот на ψ(i-1)
Рис.1.10.
В этом случае в линейной антенной решетке суммирование сигналов с выходов элементов осуществляется с фазовыми сдвигами (это эквивалентно временной задержке):
Ψ
(1.9 а)
2ψ – в третьем элементе,
…
(i-1)ψ – в i-м элементе,
Введение таких фазовых сдвигов приводит к перемещению главного лепестка на угол
(1.9 б)
С учетом фазовых сдвигов (1.9 а) в каждом элементе формула для диаграммы направленности будет иметь следующий вид
(1.10)
Задание 4 для группы ПМ-06
Вычислить и вывести на график модуль ДН с учетом введенных фазовых сдвигов по формуле (1.10) в интервале углов θ от -90 градусов до 90 градусов.
Выбрать ψ=30 градусов, затем изменить на ψ=-60 градусов.