Линейные уравнения с переменными коэффициентами

Линейным дифференциальным уравнением n - го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение вида

,                   (1)

где   - известные функции. Если   - частное решение уравнения (1) при  , то посредством замены   порядок уравнения (1) при   можно понизить.

Функции   называются линейно зависимыми на сегмента [a,b], если существуют такие постоянные  , одновременно не равные нулю, что на [a,b] выполняется тождество

.                                       (2)

Если тождество (2) справедливо лишь при  , то указанные функции называются линейно независимыми на сегменте [a,b].

Пример 1. Решить уравнение  .

Решение.

С помощью замены   понижаем порядок данного уравнения:

.

Общее решение его имеет вид  . Интегрируя уравнение   окончательно находим

.

Пример 2. Исследовать на линейную независимость функции , в области, где они определены.

Решение.

 Согласно определению линейной независимости функций должны найтись такие числа  , одновременно не равные нулю, что выполняется тождество относительно x:

.

Отсюда (если эти тождества выполняются) следуют равенства

,

или  . Следовательно, функции   линейно независимы.

Пусть   - произвольная система функций, заданных на [a,b], определителем Вронского для данной системы является определитель

.

Если (n-1) раз дифференцируемые функции   линейно зависимы на сегменте [a,b], то   на [a,b].

Если линейно независимые функции   являются решениями линейного однородного уравнения

,                                            (3)

где   непрерывные на сегменте [a,b] функции, то    на [a,b].

Общее решение уравнения (3) при   есть линейная комбинация

линейно независимых частных решений   этого уравнения.

Пример 3. Могут ли графики двух решений уравнения

с непрерывными коэффициентами на плоскости xOy пересекаться.

Решение.

Пусть   - два различных решения данного уравнения. Тогда и функция   также есть решение этого уравнения, причем  , где   абсцисса точки пересечения графиков решений  .

Если n=1, то, в силу единственности задачи Коши имеется только тривиальное решение  . Следовательно, двух различных решений нет. Пусть n=2, тогда имеем задачу

в который   произвольное, поскольку не задано. Следовательно, графики двух решений задачи могут пересекаться при  . Аналогичная ситуация и при  .

Совокупность n линейно независимых частных решений линейного однородного уравнения n-го порядка называется егофундаментальной системой. Фундаментальная система решений вполне определяет линейное однородное уравнение (3). Такое уравнение имеет вид

.                                  (4)

Пример 4. Составить линейное однородное дифференциальное уравнение (возможно меньшего порядка), имеющее  частные решения  .

Решение.

Очевидно, что функции   линейно независимые, поэтому согласно (4), имеем

.

Чтобы найти общее решение линейного однородного уравнения второго порядка  , у которого известно одно частное решение  , можно решить, используя формулу Остроградского - Лиувилля:

,

где   - любые два решения данного уравнения.

Пример 5. Решить уравнение  .

Решение.

По формуле Остроградского - Лиувилля получим

.

Так как функция   известна, то получим линейное уравнение первого порядка относительно  . Разделив обе части уравнения на  , получим

.

Так как  , то

,

В итоге получаем общее решение уравнения

.

Общего метода для отыскания частного решения линейного уравнения второго порядка с переменными коэффициентами не существует. В некоторых случаях решение удается найти путем подбора. Если коэффициенты уравнения являются многочленами, то его частное решение можно найти также в виде многочленов.

Пример 6. Найти частное решение уравнения  , являющееся алгебраическим многочленом.

Решение.

Сначала найдем степень многочлена. Подставляя    в уравнение и выписывая только члены с самой старшей степенью x, получим:

.

Приравнивая нулю коэффициент при старшей степени x, получим:

.

Отсюда  . Итак, многочлен может быть только второй степени. Ищем его в виде  . Подставляя в исходное уравнение получим  , следовательно,

Отсюда  . Итак, многочлен   является частным решением.