Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение вида

                                   (1)

где  , f - известная функция, называется линейным дифференциальным уравнением n - го порядка с постоянными коэффициентами. Если  , то уравнение (1) называется однородным, в противном случае - неоднородным. К однородному уравнению, очевидно, применима теорема существования и единственности, причем интервалом определения решений этого уравнения будет вся действительная ось.

Если f - непрерывная функция, то общее решение уравнения (1) состоит из суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения (1).

Чтобы решить однородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами (1) надо составить характеристическое уравнение

                                        (2)

и найти его корни  . Каждому простому корню   соответствует частое решение однородного уравнения (1), имеющее вид  , а каждому корню   кратности k  - решения  . Произвольная линейная комбинация всех частных решений является общим решением однородного уравнения (1), т.е.

,

где   произвольные постоянные.

Если все коэффициенты однородного уравнения (1) вещественные, то решение можно написать в вещественной форме  и в случае комплексных корней  . Для каждой пары комплексно сопряженных корней   в формулу общего решения включаются слагаемые

,

если эти корни простые, и слагаемые

,

если каждый из корней   имеет кратность k. Здесь  - многочлены степени k-1.

Пример 1. Решить уравнение  .

Решение.

Выпишем характеристическое уравнение, соответствующее данному однородному уравнению

.

Разлагая левую часть уравнения на множители, находим корни:

,

.

Следуя выше изложенной теории, выпишем общее решение данного уравнения

.

Для линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида, а именно состоящей из сумм и произведений функций  , частное решение можно искать методом неопределенных коэффициентов.  Вид частного решения зависит от корней характеристического уравнения. Ниже представлена таблица  видов частных решений линейного неоднородного уравнения с правой частью специального вида.

Правая часть	Число, сравниваемое с корнем характеристического уравнения	Вид частного решения
	0 - не корень
	0 - корень кратности k
	- не корень
	- корень кратности k
	- не корень
	- корень кратности k
	- не корень
	- корень кратности k

Здесь    -многочлены степени s, а   - многочлены степени s, коэффициенты которых нужно найти методом неопределенных коэффициентов. Для того чтобы их найти, нужно функцию, задающую вид частного решения, подставить в исходное дифференциальное уравнение и после приведения подобных слагаемых приравнять соответствующие коэффициенты в правой и левой частях уравнения. В случае, когда для определения вида частного решения нельзя воспользоваться только одной строкой таблицы, применяют принцип суперпозиции.

Теорема (принцип суперпозиции). Пусть    - решения уравнений

,

соответственно. Тогда

есть решение уравнения

.

Пример 2. Решить уравнение  , удовлетворяющее условиям  .

Решение.

Сначала найдем общее решение данного неоднородного уравнения второго порядка, а затем среди всех решений выберем то, которое удовлетворяет заданным условиям. Так как характеристическое уравнение   имеет корни  , то общим решением соответствующего однородного уравнения  является функция:

.

Правая часть исходного неоднородного уравнения представляет собой сумму двух функций специального вида  . Найдем методом неопределенных коэффициентов частные решения   уравнений

                                               (*)

                                              (**)

соответственно.

Определим частное решение   уравнения (*). Правая часть  представляет собой произведение многочлена первой степени и  . Число, которое нужно сравнивать с корнем характеристического уравнения - это 1. Оно является простым корнем характеристического уравнения кратности 1. Согласуя с параметрами таблицы, имеем  , следовательно, частное решение будем искать в виде:

,

где коэффициенты a и b подлежат определению. Подставляя последнее выражение в (*), и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях, получим следующую систему:

откуда  , а значит

.

Правая   часть уравнения (**) представляет собой произведение многочлена нулевой степени и тригонометрической функции. Число 2i не является корнем характеристического уравнения. Частное решение  уравнения (**) ищем в виде ( ):

.

Подставляя   в (**), и приравнивая коэффициенты при sin2x и cos2x справа и слева, получим систему для определения коэффициентов c и d:

Откуда  . Поэтому  . Согласно принципу суперпозиции, частное решение  первоначального уравнения имеет вид:

,

а его общее решение определяется функцией:

.

Чтобы решить задачу Коши, определим значения произвольных постоянных    в общем решении. Для этого в решение и его производную подставим x=0. Используя начальные условия  , получим:

откуда  . Значит решение поставленной задачи Коши есть

.

Линейное неоднородное уравнение (1) с любой правой частью   можно решить методом вариации постоянных. Пусть найдено общее решение   соответствующего линейного однородного уравнения. Тогда решения уравнения (1) ищется в виде

.

Функции   определяются из системы

Пример 3. Решить уравнение  .

Решение.

Исходное уравнение есть линейное неоднородное уравнение второго порядка. Решим соответствующее однородное уравнение  .  Характеристическое уравнение для данного однородного уравнения есть  , решениями которого являются  . Тогда общим решением однородного уравнения будет функция   . Тогда решение заданного уравнения будем искать в виде

.

Функции   определяются из системы

Решая систему, находим

  .

Тогда функция

определяет общее решение исходного уравнения.

Рассмотрим дифференциальные уравнения, сводящиеся к линейным уравнения с постоянными коэффициентами.

1. Уравнение Эйлера. Это уравнение вида

,

где  . Заменой   (при  ) уравнение сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами. На практике решение уравнения Эйлера ищут в виде  . Для нахождения r получают характеристическое уравнение. Простому корню   характеристического уравнения соответствует решение  , а m - кратному корню   - m линейно независимых решений вида . Если коэффициенты уравнения действительны, а характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни   кратности  , то уравнение Эйлера имеет  линейно независимых решений вида

,

.

Пример 4. Решить уравнение  .

Решение.

Решение будем искать в виде  , для нахождения r получаем характеристическое уравнение

,

решая которое, находим  . В итоге получаем общее решение исходного уравнения

.

2. Уравнение Лагранжа. Это уравнение вида

,

где  . Заменой   уравнение Лагранжа сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами.

Пример 5. Решить уравнение  .

Решение.

Решение будем искать в виде  , для нахождения r получаем характеристическое уравнение

,

решая которое, находим  . В итоге получаем общее решение исходного уравнения

.

3. Уравнение Чебышева. Это уравнение вида

.

Заменой   (при  ) уравнение Чебышева сводится к уравнению

.

Пример 6. Решить уравнение  .

Решение.

Заменой   исходное уравнение сводится к

.

Решая которое, и переходя к старым переменным получаем общее решение данного уравнения

.