5. Уравнение в точных производных.

 Рассмотрим уравнения вида

,                                                  (1)

левые части которых являются точными производными от некоторой функции  , т.е.

.

Такие уравнения называются уравнениями в точных производных. Из последнего равенства следует, что соотношение

является первым интегралом уравнения (1) - уравнением (n-1) - го порядка относительно искомой функции. Таким образом, уравнение в точных производных допускают понижение порядка на единицу.

Пример 5.  Решить уравнение  .

Решение.

Имеем

  ,

откуда следует, что

,

или

.

Это линейное уравнение первого порядка, и его общее решение имеет вид

.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши

Укажем достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши

.                                        (1)

Теорема Пикара. Пусть функция непрерывна в прямоугольнике

и удовлетворяет условию Липшица по y равномерно относительно x, т.е.   , для всех x, и .

Пусть

  ,

тогда задача Коши (1) на промежутке   имеет единственное решение  .

Замечание. Условие Липшица в теореме Пикара можно заменить на требование ограниченности или непрерывности   в каждом компакте из области определения дифференциального уравнения.

Решение задачи Коши при выполнении условий теоремы Пикара можно найти как предел при   равномерно сходящейся последовательности функций  , определяемых рекуррентным соотношением

.              (2)

Оценка погрешности, получаемой при замене точного решения y(x) n- м приближением  , выражается неравенством

.

Теорема Пеано. Пусть функция непрерывна в прямоугольнике  , причем

.

Тогда задача Коши на промежутке   имеет по крайне мере одно решение  .

Система уравнений

в векторных обозначениях записывается в виде

,                                                   (3)

где   и   - векторы. Непрерывность вектор - функции f  означает непрерывность всех функций  , а вместо   рассматривается матрица из частных производных   .

Рассмотренные выше теоремы остаются справедливы и для системы, записанной в виде (3). При этом |y| означает длину вектора y:  .

Рассмотрим уравнение вида

.                                           (4)

Пусть в области D функция f и ее частные производные первого порядка по   непрерывны, и точка   лежит внутри D. Тогда при начальных условиях

уравнение (4) имеет единственное решение.

Уравнение (4) можно свести к системе вида (2), если ввести новые неизвестные функции по формулам  . Тогда уравнение (4) сводится к системе

,

которая является частным случаем системы (3) и к которой применимы все рассмотренные утверждения.

Часто решение задачи Коши существует не только на отрезке, указанном в теоремах, но и на большем отрезке.

Если функция f(x,y)  удовлетворяет в прямоугольнике   условиям теоремы Пикара, то всякое ее решение   можно продолжить до выхода на границу прямоугольника  . Если функция f(x,y) в полосе   непрерывна и удовлетворяет неравенству  , где a(x) и b(x) - непрерывные функции, то всякое решение уравнения (1) и (3) можно продолжить на весь интервал  .

Пример 1. Построить последовательные приближения   к решению данного уравнения с данными начальными условиями:  .

Решение.

Последовательные приближения к решению данной задачи определим по рекуррентной формуле

.

Подставляя в последнюю формулу поочередно n=0,1 найдем нужные приближения:

,

.

Пример 2. Указать какой-нибудь отрезок, на котором существует решение с данными начальными условиями:  .

Решение.

Воспользуемся теоремой Пикара. В данном случае  . Функция f непрерывна в любом прямоугольнике   и удовлетворяет условию Липшица, поскольку производная  ограничена числом  . Следовательно, на сегменте  , где

существует единственное решение данной задачи. Найдем число

.

Ясно, что если на каком - то сегменте I существует единственное решение, то оно существует и на меньшем сегменте, вложенном в I. Отсюда следует, что желательно найти как можно больший отрезок I, т.е.

.

Так как функция   возрастает при  , а функция   убывает, то   достигается при условии, что  , т.е.

                                                                         .                                                                       (5)

Взяв производную по b от правой части (5), найдем, что при   достигается максимум a, который легко вычислить, подставив значение   в (5). Тогда получим

.

Таким образом, можно гарантировать существование и единственность решения данной задачи на сегменте  .

Пример 3. При каких начальных условиях существует единственное решение уравнения  .

Решение.

Поскольку функция

вместе с частными производными

непрерывна при   и  , то через каждую точку  , где   и  , проходит единственная интегральная кривая уравнения

.