Уравнения, допускающие понижение порядка
Уравнение
,
(1)
где x -
независимая переменная, y -
искомая функция, а функция
F
определена и непрерывна в некоторой
области 
и
во всяком случае зависит от 
,
называется обыкновенным
дифференциальным уравнением
n
-го порядка.
Рассмотрим некоторые типы уравнений высших порядков, допускающие понижение порядка.
1. Уравнения, не содержащие искомой функции и нескольких последовательных производных.
Рассмотрим уравнения вида
.
(2)
С
помощью замены 
,
где u
- новая неизвестная функция, уравнение
(2) приводится к уравнению (n-k) -го
порядка:
.
Пример
1.
Решить уравнение 
.
Решение.
В это
уравнение явно не входит неизвестная
функция. Следовательно, полагая
,
получим дифференциальное уравнение
первого порядка
.
Разделяя переменные и интегрируя, имеем
,
Переходя к старым переменным, получим дифференциальное уравнение
,
интегрируя которое, получим
2. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.
Рассмотрим уравнения вида
.
(3)
С
помощью замены 
(где p=p(y) -
новая искомая функция независимая
переменная) порядок уравнения (3)
понижается на единицу, так как
,
,
..........................................................
.
Данная подстановка дает уравнение (n-1) - го порядка относительно новой неизвестной функции p:
.
При осуществлении такой замены возможна потеря решения y=const. Непосредственной подстановкой необходимо проверить наличие у уравнения (3) решений такого вида.
Пример
2.
Решить уравнение 
.
Решение.
Уравнение не содержит явно переменную x, делая замену , уравнение запишется в виде
.
Отсюда
находим 
.
Из первого из двух последних уравнений
получаем y=C,
а из второго имеем 
,
или 
,
откуда
.
Интегрируя, находим
.
Окончательно имеем
,
где 
- новая произвольная постоянная.
3. Уравнения, однородные относительно .
Рассмотрим уравнения вида
, (4)
где F является однородной с показателем m относительно , т.е.
.
С
помощью замены 
,
где u -
новая неизвестная функция, порядок
уравнения (4) понижается на единицу.
Имеем
,
.................................
.
Данная подстановка дает дифференциальное уравнение (n-1) - го порядка относительно новой неизвестной функции u:
.
Пример
3.
Решить уравнение 
.
Решение.
Поскольку
функция 
вследствие
тождества
однородная
относительно переменных 
,
то данное дифференциальное уравнение
однородное с показателем однородности
2. Следовательно, применив подстановку 
,
получим уравнение
.
Это
уравнение Риккати. Непосредственной
проверкой можно убедится, что 
есть
частное решение. Поэтому посредством
подстановки 
приходим
к линейному уравнению
,
решая которое, получаем окончательный ответ
.
4. Обобщенно - однородные уравнения.
Рассмотрим уравнения вида
. (5)
Уравнение (5) называется обобщенно - однородным, если существуют числа k и m такие, что
.
С
помощью замены (при x<0 полагаем 
)
,
где t - новая независимая переменная, u - новая искомая функция, уравнение (5) приводит к уравнению, не содержащему независимой переменной t и, следовательно, допускающему понижение порядка на единицу (см. п. 2).
Производные при данной замене преобразуются по формулам
......................................................................
.
Подстановка последних равенств в (5) дает уравнение вида
,
которое явно не содержит независимую переменную t.
Пример
4.
Решить уравнение 
.
Решение.
Проверим,
что уравнение является однородным. С
этой целью вместо переменных 
подставим
в выражение для функции
соответственно 
и,
если это возможно, подберем значение k таким
образом, чтобы выполнялось тождество
.
Очевидно,
что такое тождество выполняется лишь
при условии 4k=2,
т.е при k=1/2
(при этом m=2). Следовательно,
данное уравнение обобщенно однородное.
Применив подстановку 
,
получим уравнение
.
Последнее
уравнение явно не содержит переменную t,
поэтому посредством замены
понижаем
порядок на единицу:
.
Проинтегрировав последнее уравнение, находим
.
Далее, интегрируем уравнение
:
и получаем окончательно решения уравнение в виде
.