Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

Уравнение

                                          (1)

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции  , т.е.

.

Теорема.

Если функции   непрерывны в некоторой односвязной области , то условие

является необходимым и достаточным для того, чтобы выражение

было полным дифференциалом функции  .

Если известна функция, полным дифференциалом которой является левая часть  уравнения (1), то все решения этого уравнения имеют вид  , где  - произвольная постоянная.

Чтобы найти функцию   нужно воспользоваться равенствами

.                                    (2)

Интегрируя первое из этих равенств по x, определим функцию   с точностью до произвольной дифференцируемой функции переменного y:

,                          (3)

где   - произвольная дифференцируемая функция. Функция  , такая что  . Дифференцируя (3) по y, с учетом второго равенства из (2) получаем уравнение для определения  :

.

Пример 1. Решить уравнение  .

Решение.

Так как

во всех точках полуплоскости  , то данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Найдем функцию   такую, что

 .                              (4)

Проинтегрировав первое равенство из (4) по x, получим:

.

Для нахождения   продифференцируем по y полученное соотношение и подставим во второе равенство (4):

.

Тогда   откуда,   . Значит  .

Решение данного уравнения запишется в виде:

.

Для интегрирования уравнений вида (1) иногда применяют метод, состоящий в выделении полных дифференциалов из разных групп слагаемых, стоящих в левой части уравнения. Для выделения полных дифференциалов используют формулы:

Пример 2. Решить уравнение  .

Решение.

Заметим, что в правой части уравнения стоит функция, зависящая от частного  , а в левой - выражение, похожее на дифференциал частного. Поэтому, разделив обе части данного уравнения на  , получим:

.

Обозначим  . Тогда полученное уравнение можно записать в виде:

.

Разделяя переменные, будем иметь:

.

Проинтегрировав, ответ запишем в виде:

.

Конечно, не всякое дифференциальное уравнение вида (1) является уравнением в полных дифференциалах. Всегда можно привести его к уравнению такого типа умножением на некоторую не равную нулю функцию  , называемую интегрирующим множителем. Но не всегда легко найти такую функцию.

Если   интегрирующий множитель уравнения (1), уравнение

является уравнением в полных дифференциалах:

,

т.е. интегрирующий множитель есть решение уравнения

  .                             (5)

Найти функцию   из уравнения (5) в общем случае довольно сложно. В частных случаях соотношение (5) значительно упрощается.

Случай 1. Если уравнение (1) имеет интегрирующий множитель, зависящий только от x, т.е.  , то из (5) имеем

.

Случай 2. Если уравнение (1) допускает интегрирующий множитель как функцию одной переменной y, т.е.  , то

.

Случай 3. Если уравнение (1) имеет интегрирующий множитель вида  , где   - известная функция, то

.

Пример 3. Решить уравнение  .

Решение.

Очевидно, что данное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Попытаемся найти интегрирующий множитель  . Поскольку выражение

не зависит от y, то уравнение для определения   примет вид

.

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными одним из решением которого, является функция  . Умножая обе части исходного уравнения на интегрирующий множитель  , получаем уравнение в полных дифференциалах:

.

Интегрируя его, находим общее решение:

.

Пример 4. Решить уравнение  .

Решение.

Очевидно, найти интегрирующий множитель, зависящий только от одной переменной нельзя. Будем искать интегрирующий множитель в виде . Пусть  , тогда уравнение для нахождения  примет вид

,

интегрируя, которое находим

.

Умножая обе части исходного уравнения на данный интегрирующий множитель, получаем уравнение в полных дифференциалах:

.

Интегрируя полученное уравнение, находим общее решение:

.

Теорема.

Если   - интегрирующий множитель уравнения вида (1), а функция  такая, что

.

Тогда  , где   - произвольная дифференцируемая функция, также будет интегрирующим множителем того же уравнения.

Это свойство интегрирующего множителя позволяет во многих случаях находить его методом разбиения данного уравнения на две части.

Пусть   - общие интегралы и интегрирующие множители соответственно для уравнений

.

Тогда, в силу приведенной выше теоремы, функции

являются интегрирующими множителями для первого и второго уравнения соответственно. Если удастся подобрать функции   так, чтобы выполнялось равенство

,

то интегрирующим множителем для уравнения

,

очевидно, является функция

.

Пример 5. Решить уравнение  .

Решение.

Для отыскания интегрирующего множителя воспользуемся методом разделения уравнения на два:

.

Нетрудно установить, что интегрирующие множители этих уравнений. а также их интегралы имеют вид:

,

Согласно указанному методу, интегрирующий множитель данного уравнения ищем из соотношения

.

Отсюда

.

Полагая здесь  , получаем

,

или

.

Пусть  . Тогда

.

Следовательно,

.

Заметим, что для   аналогично можно найти

.

В обоих случаях после интегрирования уравнения в полных дифференциалах и упрощений получаем ответ

.