Линейные уравнения первого порядка

Линейным уравнением первого порядка называют уравнения вида

, (1)

где   - заданные функции независимого переменного x, определенные на некотором интервале  .

Существуют несколько методов решения этого уравнения.

Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).

Сначала решаем однородное уравнение

методом разделения переменных

или  , где

.

Решение исходного уравнения ищем в виде

,                                                   (2)

подставляя (2) в уравнение (1) получаем

,

или, что тоже

.

Из последнего уравнения находим, что

,

где   - константа интегрирования. Тогда все решения уравнения (1) определяются формулой

.                                          (3)

Пример 1.  Решить уравнение  .

Решение.

Данное уравнение эквивалентно следующему

.

Решаем однородное уравнение

,

затем, в общем решении   полагаем  , т.е.

.                                                   (*)

Подставляя эту функцию в исходное неоднородное уравнение, находим

,

где   - постоянная интегрирования. Подставляя найденное   в формулу (*), получаем решение неоднородного уравнения:

 .

Заметим, что при делении на   было потеряно решение  . Итак, решениями исходного уравнения являются функции .

Метод Бернулли.

Решение уравнения (1) ищем в виде  .  Подставляя данное выражение в (1) получим,

.

Выберем в качестве   одно из решений уравнения

,

например  , где

.                                       (4)

Тогда  находим из уравнения

,

решением которого является функция

,

где  - произвольная постоянная.  Перемножая  , получим (3).

Пример 2.  Решить уравнение  .

Решение.

Данное уравнение эквивалентно следующему

.

Решение уравнения ищем в виде  . Имеем

.

Пусть  - решение уравнения  , например  . Функцию  найдем из уравнения

.

Отсюда

,

где  - произвольная постоянная. Итак, решением данного уравнения является функция

.

Метод интегрирующего множителя.

Умножим обе части уравнение (1) на функцию  , где   определяется по формуле (4). Учитывая, что  , уравнение (1) перепишется в виде

.

Интегрируя последнее уравнение, получим

,

где  - произвольная постоянная.

Общее определение интегрирующего множителя вместе с некоторыми методами интегрирования, основанными на этом понятии имеется, например, в учебниках[1,3].

Пример 3.  Решить задачу Коши  ,  .

Решение.

Перепишем уравнение в нормальной форме

.                                                   (5)

Для полученного уравнения интегрирующий множитель ищем в виде  , где   вычисляется по формуле

,

следовательно,  . Умножив уравнение (5) на  , получим

,

интегрируя последнее уравнение находим

.

В итоге получаем ответ  .

Иногда уравнение можно сделать линейным, поменяв местами функцию y и независимое переменное x. Затем решать любым выше изложенным способом относительно x.

 Пример 4. Решить уравнение  .

Данное уравнение является линейным относительно функции x=x(y), т.е.

 .

Общим решением однородного уравнения    является функция

.

Полагая C=C(y) и подставляя в неоднородное уравнение, для функции C(y) получаем дифференциальное уравнение

,

следовательно,

,

где   - постоянная интегрирования. Итак, решением исходного неоднородного уравнения является функция

.

Некоторые дифференциальные уравнения могут быть сведены к линейным путем замены переменных. К таким уравнениям относятся:

a)  уравнение Бернулли

Уравнение вида

                                    (6)

называется уравнением Бернулли.

Пусть функции   определены на интервале  . При     всегда является решением. Для ненулевых решений уравнение Бернулли сводится к линейному заменой

.

Линейное уравнение имеет вид

.

Уравнение Бернулли также можно решать другим способом, а именно, сделав замену в уравнении (6)

,

находим

.

Возьмем в качестве   какое-нибудь решение уравнения

.

Для определения   тогда получим уравнение с разделяющимися переменными

.

Пример 5.  Решить уравнение .

Решение.

Разделим данное уравнение на  , получим

,

сделаем замену

,

тогда

  .

Решая, полученное уравнение одним из выше изложенным способом, находим решение исходного уравнения

,

где  - произвольная постоянная.

Решим уравнение  , вторым способом. Делая в уравнении замену  , находим

.

Функция   должна удовлетворять уравнению  .

Положим, например,  . Уравнение для определения функции   примет вид

,

откуда,

.

Перейдя к старым переменным, получаем решением исходного уравнения являются функции

.

b)  уравнение Риккати

 Уравнение вида

называется уравнением Риккати.

Уравнение Риккати интегрируются в квадратурах лишь в некоторых частных случаях - например, если   - постоянны, то переменные разделяются; при с=0 получается уравнение Бернулли. Если удается угадать некоторое частное решение  уравнение Риккати, то заменой

оно сводится к уравнению Бернулли. Частное решение удобно подбирать по виду функции с(x).

Пример 6.  Решить уравнение  .

Решение.

Преобразуем уравнение к виду

.

Найдем частное решение методом неопределенных коэффициентов, исходя из вида правой части предположим, что функция

удовлетворяет уравнению Риккати. Тогда должно выполняться равенство

,

которое возможно при  . Следовательно, функция

является частным решением уравнения Риккати. Чтобы найти общее решение сделаем замену

.

Подставляя в исходное уравнение, получаем уравнение Бернулли с показателем n=2:

.

Далее, полагая

,

приводим уравнение Бернулли к линейному неоднородному уравнению

,

решением которого является функция

 .

Перейдя к старым переменным, находим

.

При делении на z было потеряно решение

.

Итак, решением исходного уравнения являются функции

 .