Нелинейные системы

Система дифференциальных уравнений вида

(1)

где - неизвестные функции, называется нормальной системой дифференциальных уравнений.

Существует два основных метода интегрирования систем (1).

1. Метод исключения. Состоит в сведении системы (1) к одному уравнению n -го порядка или к одному уравнению m - го ( ) порядка и к системе m независимых уравнений. Такое сведение достигается путем дифференцирования одного из уравнений системы (1) и последующего использования всех уравнений этой же системы.

Пример 1. Решить систему нелинейных дифференциальных уравнений

Решение.

Представим данную систему в виде

получаем

Третье уравнение системы интегрируется независимо от остальных, и его общее решение имеет вид: . К первым двум применяется метод исключения, в результате чего имеем:

. (2)

Интегрируя последнее уравнение, находим . Подставив x в первое соотношение (2), получим .

Исключая из полученных соотношений параметр t, получаем два независимых первых интеграла исходной системы

2. Подбор интегрируемых комбинаций. Интегрируемой комбинацией называется дифференциальное уравнение, которое является следствием системы уравнений (1) и интегрируется в квадратурах; например, имеет вид

где есть решения системы (10). Функция , которая тождественно равна постоянной при подстановке в нее решений системы (1), называется первым интегралом системы (1).

Если имеется k первых независимых интегралов

(3)

(интегралы называются независимыми, если между функциями не существует связи вида ), то из системы (13) можно выразить k неизвестных функций через остальные. Подставив их в систему (11), придем к задаче об интегрировании системы уравнений с меньшим числом неизвестных. В частности, если k=n, то все неизвестные функции определяются из системы интегралов (3). Аналитическая форма проверки независимости интегралов имеет вид