2.4.3 Принцип двойственности
Определение
1.
Функции f*(x1,
..., xn)
называется двойственной к функции f(x1,
..., xn), если
f*(x1,
..., xn) =
(
1,
...,
n).
Пример 1. Покажем с помощью таблицы истинности, что константа 0 двойственна к 1:
-
x
f
f*
0
1
0
0
1
1
Функции f(x) = x и g(x) = двойственны сами себе:
-
x
f
f*
g
g*
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
так
как f*(x)=
(
).
Определение 2. Если f*(x1, ..., xn) = f(x1, ..., xn), то f(x1, ..., xn) называется самодвойственной.
Пример 2. Покажем, что f(x1,x2,x3)=x1x2x3 – самодвойственна:
-
x1
x2
x3
f
f*
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
Если
f*– самодвойственна,
то
(
1,
...,
n)
= f(x1,
..., xn), т.е.
на противоположных наборах функция
принимает противоположные значения.
Пример 3. Покажем, что функция х1х2 двойственна к x1&x2, функция х1 х2 двойственна к функции x1|x2.
-
x1 x2
f=х1х2
f*
g=x1|x2
g*=x1 x2
0 0
0 1
1 0
1 1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
0
0
Теорема о двойственных функциях
Если f* двойственна к f, то f двойственна к f*.
Доказательство.
f*(x1, ..., xn) =
(
1,
...,
n).
Найдем двойственную функцию к f*,
т.е. (f*( x1, ..., xn))*
= (
(
1,
...,
n))*
=
(
1,
...,
n)
= f(x1, .., xn).
Предположим, что функция задана формулой. Можно ли найти по этой формуле двойственную функцию? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Принцип двойственности
Теорема: Пусть функция h(x1, ..., xn) реализована формулой h(x1, ..., xn) = =g(G1, ..., Gm) = g(f1(x1, ..., xn), ..., fm(x1, ..., xn)), где какие-то переменные могут быть фиктивными. Тогда h*( x1, ..., xn) = g*(f1*( x1, ..., xn), ..., fm*(x1, …, xn)), это означает, что если функция задана некоторой формулой, то чтобы получить двойственную функцию, надо в этой формуле все знаки функций заменить на двойственные, 0 на 1, 1 на 0.
Доказательство.
h*(x1,
..., xn) =
(
1,
...,
n)
=
(f1(
1,
...,
n),
..., fm(
1,
...,
n))
=
..
n
.
.
n
.. 
g*(f1*(
x1, ..., xn), ..., fm*(
x1, ..., xn)), что и
требовалось доказать.
Если функция h(x1, ..., xn) реализуется формулой N[f1, ..., fn], то формулу, полученную из N заменой fi, входящих в нее, на fi* и реализующую функцию h*(x1, ..., xn), будем называть двойственной и обозначать N*(x1, ..., xn).
Пример 4.
Построить формулу, реализующую f*,
если f = ((x
y)
z)
(y
(xyz)).
Покажем, что она эквивалентна формуле
N = z(xy).
Найдем (xy)* и (x y)*.
-
x y
xy
(xy)*
x y
(x y)*
0 0
0 1
1 0
1 1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
0
Из таблиц видно, что
(x
y)*
= x ~ y =
=
x
y
1,
x
y
=
y
x
,
(x
y)*
=
y,
x
y
=
y.
По принципу двойственности:
f* =
yz
(
(x
(y
z)
1))
=
yz
z(x
(y
z)
1)
= z(
y(
x
z
))
= z(
y
(xz1))
= z(
y
(x
))
= z
y(z
xz
)
= z(
yx
)
= z(xy).
Тогда f = (f*)* = [z(xy)]* = z(x~y).
Пример 5. Найти формулу для f* и показать, что она эквивалентна формуле N = (x(zt)) , если f = (xyz~(tx )) t.
f*
= ((xyz)t(
y))(
t)
= (
t(
y)(xyz)
)(
t)
=
=
(
t(xyz)(
x
))(
t)
=
t(xyz)(
x
tx
)
=
=
t(xyz)(
x
)
=
(
x
t
zxxz)
=
(
tx
zxz)
=
(x(zt)).