Упрощение записи формул:

1) внешние скобки можно отпускать;

2) приоритет применения связок возрастает в следующем порядке: ~, ,,&;

3) связка – над одной переменной сильнее всех связок;

4) если связка – стоит над формулой, то сначала выполняется формула, затем отрицание;

5) если нет скобок, то операции  и выполняются в последнюю очередь.

Теорема о замене подформул на эквивалентные

Пусть N<M> и имеет вид: N(x₁, ..., x_n) = g(G₁, ...G_i, ...,G_m). Пусть подформула G_i~G_i, тогда формула N(x₁, ..., x_n) = g(G₁, ...,G_i,...,G_m) эквивалентна формуле N(x₁, ..., x_n) = g(G₁, ..., G_i, ...,G_m).

Доказательство. Формулы N и N эквивалентны, если реализуют одну и ту же функцию. Согласно построению функции, реализующей формулу имеем:

N(x₁, ..., x_n) = g(f₁(x₁, ..., x_n ), ..., f_i(x₁, ..., x_n), ..., f_m(x₁, ..., x_n)),

N (x₁, ..., x_n)= g(f₁ (x₁, ..., x_n ), ..., f_i(x₁, ..., x_n), ..., f_m (x₁, ..., x_n)).

По условию G_i~G_i, следовательно на наборе ₁, ..., _n) имеем f_i ₁, ..., _n) = = f_i₁, ..., _n) следовательно, на любом наборе ₁, ..., _n)значения функции g(f₁, ...,f_i, ...,f_m) и g(f₁, ...,f_i, ...,f_m) совпадают. Получим N~N.

Некоторые свойства элементарных функций

1. Идемпотентность & и : х&x=x , xx=x.

2. Коммутативность &,,,|,~, .

3. Ассоциативность &,,,~, поэтому в формулах вида xyz можно не ставить никаких скобок.

4. Дистрибутивность:

а) & по отношению к : x&(yz)=xyxz ,

б) по отношению к &: x(y&z)=(xy)&(xz) ,

в) & по отношению к : x(yz)=xyxz .

5. Инволюция : =х .

6. Правило де Моргана: = & и =  .

7. Законы действия с 0 и 1:

x0=x , x1=1 , x =1 , x&0=0 , x&1=x , x& =0 , x1= , x0=x.

8. Самодистрибутивность импликации: x (y z)=(x y) (x z).

Равенство всех этих формул доказывается по определению, т.е. по равенству функций, которые они реализуют.

Проверим для примера самодистрибутивность импликации : x (y z)=(x y) (x z).

x	y	z	y z	x (y z)	x y	x z
0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	1 1 0 1 1 1 0 1	1 1 1 1 1 1 0 1	1 1 1 1 0 0 1 1	1 1 1 1 0 1 0 1	1 1 1 1 1 1 0 1

Следствия из свойств элементарных функций

1. Законы склеивания:

xyx =x(y )=x 1=x (дистрибутивность & относительно );

(xy)&(x )=x y =x 0=x (дистрибутивность  относительно &).

2. Законы поглощения:

xxy=x(1y)=x 1=x; x&(xy)=xxy=x.

Свойства элементарных функций и теорема о замене подформул на эквивалентные позволяют упрощать формулы.

Пример 3:

Упростим формулы:

1. x₂x₃x_{1 2}x₃ = x₃(x₂x_{1 2}) = x₃((x₂x₁)&(x₂ ₂)) = (x₁x₂)x_3.

2. x₁ ₁x₂ _{1 2}x₃ _{1 2}x₃x₄ = x₁ ₁(x₂ _{2 3}x₄) = x₁ ₁(x₂x₃ _{2 3}x₄) = (x₁ ₁)(x₁x₂x₃ _{2 3}х₄) = x₁(x₂x₃)( )x₄ = x₁(x₂х₃( ))(x₂x₃x₄) = x₁x₂x₃x_4.