2.6.7. Исчисление предикатов.

Логика первого порядка (исчисление предикатов) — формальное исчисление, допускающее высказывания относительно переменных, фиксированных функций и предикатов. Расширяет логику высказываний. В свою очередь является частным случаем логики высшего порядка.

Язык логики первого порядка строится на основе сигнатуры, состоящей из множества функциональных символов F и множества предикатных символов P. С каждым функциональным и предикатным символом связана арность, то есть число возможных аргументов. Допускаются как функциональные, так и предикатные символы арности 0. Первые иногда выделяют в отдельное множество констант. Кроме того, используются следующие дополнительные символы

• Символы переменных (обычно x,y,z,x₁ и т. д.),

• Пропозициональные связки: ,,,,

• Кванторы: всеобщности и существования ,

• Служебные символы: скобки и запятая.

Перечисленные символы вместе с символами из P и F образуют алфавит логики первого порядка. Более сложные конструкции определяются индуктивно:

• Терм есть символ переменной, либо имеет вид f(t₁ ,..., t_n), где f — функциональный символ арности n, а t₁ ,..., t_n — термы.

• Атом имеет вид p(t₁ ,..., t_n), где p — предикатный символ арности n, а t₁ ,..., t_n  — термы.

• Формула — это либо атом, либо одна из следующих конструкций: F_, F₁F₂, F₁F₂, F₁F₂, xF, xF, , где F, F₁, F₂ — формулы, а x — переменная.

Переменная х называется связанной в формуле F, если F имеет вид xG, либо xG, или же представима в одной из форм H_, F₁F₂, F₁F₂, F₁F₂, причем х уже связанна в H, F₁и F₂. Если х не связанна в F, ее называют свободной в F. Формулу без свободных переменных называют замкнутой формулой, или предложением. Теорией первого порядка называют любое множество предложений.

Аксиоматика и доказательство формул

Система логических аксиом логики первого порядка состоит из аксиом исчисления высказываний дополненной двумя новыми аксиомами:

• xA A[t/x] 

• A[t/x]   xA

где A[t/x] — формула, полученная в результате подстановки терма t вместо каждой свободной переменной х, встречающейся в формуле А.

Правил вывода 2:

• Modus ponens:

• Правило обобщения:

Теорема Гёделя о полноте исчисления предикатов является одной из фундаментальных теорем математической логики: она устанавливает однозначную связь между логической истинностью высказывания и его выводимостью в логике первого порядка. Это аналог теоремы о полноте исчисления высказываний

Формула является выводимой в исчислении предикатов первого порядка тогда и только тогда, когда она общезначима (истинна в любой интерпретации при любой подстановке). Или всякая общезначимая формула выводима в исчислении предикатов.

2.6.8. Теоремы Гёделя о неполноте.

Первая теорема Гёделя о неполноте

Во всякой достаточно богатой непротиворечивой теории первого порядка существует такая замкнутая формула F, что ни F, ни её отрицание F не являются выводимыми в этой теории.

Теорема утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней существует невыводимая и неопровержимая формула.

Иначе говоря, в любой достаточно сложной непротиворечивой теории существует утверждение, которое средствами самой теории невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Например, такое утверждение можно добавить к системе аксиом, оставив её непротиворечивой. При этом для новой теории (с увеличенным количеством аксиом) также будет существовать недоказуемое и неопровержимое утверждение.

Теорема была доказана Куртом Гёделем в 1931 году.

Вторая теорема Гёделя о неполноте

Во всякой достаточно богатой непротиворечивой теории первого порядка формула, утверждающая непротиворечивость этой теории, не является выводимой в ней.

Теорема утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней невыводима некоторая формула, содержательно утверждающая непротиворечивость этой арифметики.

Иными словами, непротиворечивость достаточно богатой теории не может быть доказана средствами этой теории. Однако вполне может оказаться, что непротиворечивость одной конкретной теории может быть установлена средствами другой, более мощной формальной теории. Но тогда встаёт вопрос о непротиворечивости этой второй теории, и т. д.