2.6.2. Определение и разновидности дедуктивных теорий.

Дедуктивная теория считается заданной, если:

1. Задан алфавит (множество) и правила образования выражений (слов) в этом алфавите.

2. Заданы правила образования формул (правильно построенных, корректных выражений).

3. Из множества формул некоторым способом выделено подмножество T теорем (доказуемых формул).

Разновидности дедуктивных теорий

В зависимости от способа построения множества теорем:

Задание аксиом и правил вывода

В множестве формул выделяется подмножество аксиом, и задается конечное число правил вывода — таких правил, с помощью которых (и только с помощью их) из аксиом и ранее выведенных теорем можно образовать новые теоремы. Все аксиомы также входят в число теорем. Иногда (например в аксиоматике Пеано) теория содержит бесконечное количество аксиом, задающихся при помощи одной или нескольких схем аксиом. Аксиомы иногда называют «скрытыми определениями». Таким способом задается формальная теория (формальная аксиоматическая теория, формальное (логическое) исчисление).

Задание только аксиом

Задаются только аксиомы, правила вывода считаются общеизвестными. При таком задании теорем говорят, что задана полуформальная аксиоматическая теория. Пример - Геометрия

Задание только правил вывода

Аксиом нет (множество аксиом пусто), задаются только правила вывода. По сути, заданная таким образом теория — частный случай формальной, но имеет собственное название: теория естественного вывода.

Свойства дедуктивных теорий

Непротиворечивость

Теория, в которой множество теорем покрывает всё множество формул (все формулы являются теоремами, «истинными высказываниями»), называется противоречивой. В противном случае теория называется непротиворечивой. Выяснение противоречивости теории — одна из важнейших и иногда сложнейших задач формальной логики. После выяснения противоречивости теория, как правило, не имеет дальнейшего ни теоретического, ни практического применения.

Полнота

Теория называется полной, если в ней для любой формулы F выводима либо самаF, либо ее отрицание F. В противном случае, теория содержит недоказуемые утверждения (утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть средствами самой теории), и называется неполной.

Независимость аксиом

Отдельная аксиома теории считается независимой, если эту аксиому нельзя вывести из остальных аксиом. Зависимая аксиома по сути избыточна, и ее удаление из системы аксиом никак не отразится на теории. Вся система аксиом теории называется независимой, если каждая аксиома в ней независима.

Разрешимость

Теория называется разрешимой, если в ней понятие теоремы эффективно, то есть существует эффективный процесс (алгоритм), позволяющий для любой формулы за конечное число шагов определить, является она теоремой или нет.

2.6.3. Исчисление высказываний

Рассмотрим формальную аксиоматическую систему, в некотором смысле адекватную алгебре высказываний. Назовем эту систему исчислением высказываний.

         Чтобы построить исчисление, нужно определить алфавит исчисления, понятие формулы, класс формул, называемых аксиомами, правила вывода данного исчисления.

         Символы исчисления высказываний состоят из знаков трех категорий:

1. Большие латинские буквы А, В, С, ... X, Y, Z, ..., которые назовем переменными высказываниями.

2. Символы операций исчисления , , , (знак конъюнкции, дизъюнкции, следования и отрицания).

3. Скобки (    ).

         Других символов система исчисления высказываний не содержит.

         Формулой в исчислении высказываний является некоторая последовательность символов. Но не всякая последовательность символов есть формула. Например, последовательности А→В (С→) и (А В) не являются формулами. Определение формулы в исчислении высказываний задается следующим образом:

1.   Всякое переменное высказывание есть формула.

2.   Если ,  есть формулы, то выражения вида (),,, (), () также являются формулами.

         Зададим в исчислении высказываний класс исходных истинных формул-аксиом.

 

I.	1.	А(ВА);
	2.	(А®(В®С))((А®В)®(А®С);
II.	1.	АВ®А;
	2.	АВ®В;
	3.	(А®В)®((А®С)®(А®ВС));
III.	1.	А®АВ;
	2.	В®АВ;
	3.	(А®С)®((В®С)(АВ®С)).
IV.	1.	(А®В)®((В®А) ;
	2.	А®А;
	3.	А®А.

Правила вывода позволяют из данной системы аксиом получать другие истинные формулы исчисления высказываний. Назовем формулу исчисления высказываний ложной, если ее отрицание истинно.

         К основным правилам вывода относятся два:

1) Правило заключения.

Если  и () - истинные формулы, то  также истинна. Это предложение можно записать в виде

2) Правило подстановки

Пусть некоторая истинная формула  содержит переменное высказывание А. Тогда, заменив высказывание А всюду, где оно встречается, любой формулой , получим истинную формулу. Это предложение записывается в виде

Формула называется выводимой в исчислении высказываний, если ее можно получить, применяя правила вывода к аксиомам исчисления высказываний. Утверждение, что формула  выводима, записывают так:

├

 

Процесс получения формул из аксиом исчисления высказываний называется формальным выводом. Формальный вывод состоит из указания того, какие правила, в каком порядке и к каким формулам применяется для выведения данной формулы.