Теорема о достаточности четырех функций.

Из любой полной в Р₂ системы функций можно выделить полную подсистему, состоящую не более чем из четырех функций.

Доказательство. Пусть {f₀, f₁, f_L, f_M, f_S} – полная система функций, тогда она не лежит целиком ни в одном из классов T₀, T₁, L, M, S. Следовательно, в системе есть функции f₀T₀, f₁T₁, f_LL, f_SS и f_mM. Система {f₀, f₁, f_L, f_M, f_S}  P₂ и образует полную систему в Р₂. Рассмотрим функцию f₀: f₀(0, ..., 0) = 1.

Если f₀(1, ..., 1) = 0, то f₀T₁ и f₀M, тогда {f₀, f_S, f_L} – полная система из трех функций.

Если f₀(1, ..., 1) = 1, то f₀S и {f₀, f₁, f_L, f_M } образует полную систему из четырех функций.

Пример 1, приведенный выше, показывает, что цифру 4 в общем случае уменьшить нельзя, из полной системы {x₁x₂,0,1,x₁x₂x₃} нельзя выделить полную подсистему.

Следствие. Базис в Р₂ может состоять максимум из четырех функций.

2.5. Математические теоремы, их виды и логическая структура.

2.5.1. Теоремы прямая, обратная, противоположная.

Простейшая форма математической теоремы такова: хХ (А(х)В(х)) (дальше это утверждение будем называть прямой теоремой). Смысл этой записи: если элемент х множества Х имеет свойство А(х) (условие теоремы), то он имеет и свойство В(х) (заключение теоремы). Пусть, для примера, П ={Р₁, Р₂, Р₃, …}- множество точек плоскости. Тогда формулировка теоремы Пифагора будет такова:

{ (Р₁П, Р₂П, Р₃П) Р₁Р₂Р₃=/2  | Р₁Р₂| ²+| Р₂Р₃| ²=| Р₁Р₃| ²}.

Исходя из утверждения хХ (А(х)В(х)) можно построить новые утверждения:

хХ (В(х)А(х)) (обратная теорема);

хХ (А(х) В(х)) (противоположная теорема);

хХ (В(х) А(х)) (теорема, противоположная обратной).

Сформулируем эти утверждения для теоремы Пифагора:

обратная теорема: { (Р₁П, Р₂П, Р₃П) | Р₁Р₂|²+| Р₂Р₃|²=| Р₁Р₃|²  Р₁Р₂Р₃=/2} (если квадрат какой-либо стороны треугольника равен сумме квадратов остальных сторон, то угол, противолежащий этой стороне - прямой) - верное утверждение;

противоположная теорема: { (Р₁П, Р₂П, Р₃П) Р₁Р₂Р₃/2  | Р₁Р₂|²+| Р₂Р₃|²| Р₁Р₃|²} (если какой-либо угол треугольника не прямой ,то квадрат противолежащей стороны не может быть равен сумме квадратов остальных сторон - верное утверждение (следствие теоремы косинусов));

теорема, противоположная обратной: { (Р₁П, Р₂П, Р₃П) | Р₁Р₂|²+| Р₂Р₃|²| Р₁Р₃|²  Р₁Р₂Р₃/2} (если квадрат какой-либо стороны треугольника не равен сумме квадратов остальных сторон, то угол, противолежащий этой стороне, не может быть прямым) - верное утверждение.

Однако если верна прямая теорема, это не означает, что всегда будут верны все остальные. Рассмотрим утверждение: "если десятичная запись натурального числа заканчивается нулем, то это число делится на пять без остатка" . Обратная теорема ("если натуральное число делится на пять без остатка, то десятичная запись этого числа заканчивается нулем") - ложна (число х=15 делится нацело на 5, но не оканчивается нулём). Противоположное утверждение "если десятичная запись натурального числа не заканчивается нулем, то это число не делится на пять без остатка" ( ) тоже ложно (опровергающий пример - х=15). Утверждение, противоположное обратному: "если натуральное число не делится на пять без остатка, то десятичная запись этого числа не может заканчиваться нулем" - истинно. Докажем общее утверждение

Теор. 2.3.1. Теоремы прямая и противоположная обратной, обратная и противоположная попарно либо обе истинны, либо обе ложны.

Док-во. Составим таблицу истинности для высказываний А, В и требуемых импликаций:

А	В	А	В	АВ	ВА	ВА	АВ	Эта таблица является, по существу, подмножеством таблицы Свойства логических операций раздела 2.1. Высказывания и действия над ними. Из неё следуют
1	1	0	0	1	1	1	1
1	0	0	1	0	0	1	1
0	1	1	0	1	1	0	0
0	0	1	1	1	1	1	1

эквивалентности (АВ)( ВА); (ВА) ( АВ), которые и требовалось доказать.