35

2. Элементы математической логики.

2.1. Высказывания и действия над ними.

Опр.2.1.1. Утверждение, относительно которого известно, истинно оно или ложно, будем называть высказыванием.

Примеры: (A) число 6 больше числа 2; (B) число 6 меньше или равно числу 2; (C) Волга впадает в Каспийское море; (D) Путин - наш президент; (Е) чтобы хорошо жить, надо хорошо учиться.

Утверждения A, C - истинные высказывания; В - ложное; D - утверждение, истинное в настоящий момент, однако об его истинности через два года мы ничего сказать не можем, такие утверждения мы высказываниями считать не будем; (Е) - не высказывание, так как проверить его истинность невозможно. В дальнейшем мы будем рассматривать в основном математические утверждения, для которых неоднозначности в понимании смысла утверждений возникать не будет.

Итак, высказывание - утверждение, которое или истинно, или ложно (третья возможность исключена); никакое высказывание не может быть одновременно и истинным, и ложным.

Для описания истинности высказываний необходимы два символа - один для истинных высказываний, другой - для ложных. Можно применять буквы "и" и "л"; однако чаще применяются цифры 0 и 1. Именно, ложному высказыванию припишем значение 0, истинному - значение 1. Таким образом, для вышеприведённого примера истинность высказываний A и С равна 1; истинность высказывания B равна 0.

Определим теперь операции, с помощью которых из высказываний строятся более сложные высказывания.

Опр.2.1.2. Отрицанием высказывания А (обозначение А; читается: "не А") называется высказывание, которое ложно тогда, когда А - истинно, и истинно, когда А ложно.

Для приведённых примеров В=А.

Опр.2.1.3. Конъюнкцией высказываний А и В (обозначение АВ, читается: А и В) называется высказывание, истинное тогда, когда истинны оба высказывания А и В, и ложное в остальных случаях.

Опр. 2.1.4. Дизъюнкцией высказываний А и В (обозначение АВ, читается: А или В) называется высказывание, истинное тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний А и В, и ложное, если и А и В ложны.

Опр. 2.1.5. Импликацией высказываний А и В (обозначение АВ, читается: из А следует В; если А, то В) называется высказывание, ложное в случае, если А истинно, а В ложно, и истинное в остальных случаях.

Опр. 2.1.6. Эквивалентностью высказываний А и В (обозначение АВ, читается: тогда и только тогда, необходимо и достаточно) называется высказывание, истинное тогда, когда оба высказывания А и В либо истинны, либо ложны, и ложное если одно из высказываний А, В истинно, а другое ложно.

Рассмотрим простой пример интерпретации введённых операций. Пусть даны высказывания: А="5>3" (истинное); В="10>7" (истинное); С="6<1" (ложное); D="8<0" (ложное). Результаты применения логических операций к этим высказываниям будут таковы:

А (неверно, что "5>3") - ложно; С (неверно, что "6<1") - истинно; АВ ("5>3" и "10>7" (одновременно)) - истинно; АС ("5>3" и "6<1" (одновременно)) - ложно; АС ("5>3" и "6<1" (одновременно)) - ложно; АС ("5>3" или "6<1" (истинно хотя бы одно из этих утверждений)) - истинно; АВ (из А следует В; если А, то В; если"5>3", то "10>7") - истинно;

Таблица истинности операций										АС (из А следует С; если А, то С;
A	B	А	АВ	АВ	АВ	АВ			если"5>3", то "6<1") - ложно; СА (из С следует А; если С, то А; если"6<1", то "5>3") - истинно; АВ (А эквивалентно В; А справедливо тогда и только тогда, когда справедливо В; для А необходимо и достаточно, чтобы выполнялось В; "5>3""10>7") - истинно; АС ("5>3""6<1") - ложно; DС ("8<0""6<1") - истинно.
1	1	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	0	0
0	1	1	0	1	1	0
0	0	1	0	0	1	1

Свойства логических операций.

1. ( А)  (А).	7. ((АВ)С)  (А(ВС)).
2. (  (АВ))  (АВ).	8. ((АВ)С)  ((АС)(ВС)).
3. (  (АВ))  (АВ).	9. ((АВ)С)  ((АС)(ВС)).
4. (АВ)  (ВА).	10. (АВ)  (  АВ).
5. (АВ)  (ВА).	11. (АВ)  (  В А).
6. ((АВ)С)  (А(ВС)).	12. (АВ)  (АВ)(ВА).

Док-во. Для доказательства любой из приведённых формул требуется построить таблицы истинности для частей формулы, стоящих слева и справа от символа эквивалентности , для всех значений истинности входящих в формулу высказываний, и показать, что они совпадают. Докажем, например, формулу 8. Таблица истинности:

А	В	С	АВ		(АВ)С		АС	ВС		(АС)(ВС)
0	0	0	0		0		0	0		0
0	0	1	0		0		0	0		0
0	1	0	1		0		0	0		0
0	1	1	1		1		0	1		1
1	0	0	1		0		0	0		0
1	0	1	1		1		1	0		1
1	1	0	1		0		0	0		0
1	1	1	1		1		1	1		1

Значения истинности для левой и правой частей формулы совпадают при любых истинностях входных высказываний, следовательно, левая и правая части формулы действительно эквивалентны. (Отметим аналогию между этой формулой и формулой 10. из раздела "1. Элементы терии множеств").

В дальнейшем мы будем отождествлять высказывание и его значение истинности, т.е. считать, что А = 1, если А - истинно, и А = 0, если А - ложно.