Решение рекуррентных соотношений

Решением рекуррентного соотношения называется любая последовательность, для которой данное соотношение выполнено тождественно. Пример. Последовательность 2, 4, 8, …, 2n является решением для соотношения f(n+2)=3∙f(n+1) – 2∙f(n). Доказательство: Общий член последовательности имеет вид f(n)=2ⁿ. Значит, f(n+2)= 2ⁿ⁺², f(n+1)= 2ⁿ⁺¹. При любом n имеет место тождество 2ⁿ⁺²=3∙2ⁿ⁺¹ – 2∙2ⁿ. Следовательно, при подстановке последовательности 2ⁿ в формулу f(n+2)=3f(n+1) – 2f(n) соотношение выполняется тождественно. Значит, 2ⁿ является решением указанного соотношения. Решение рекуррентного соотношения k-го порядка называется общим, если оно зависит от k произвольных постоянных α₁, α ₂, … α _k и путем подбора этих постоянных можно получить любое решение данного соотношения. Пример. Дано рекуррентное соотношение: f(n+2)=5f(n+1)-6f(n). Докажем, что его общее решение имеет вид: f(n)= α 2ⁿ+ β3ⁿ .

1. Сначала докажем, что последовательность f(n)=α 2ⁿ+ β3ⁿ является решением рекуррентного соотношения. Подставим данную последовательность в рекуррентное соотношение.

f(n)= α 2ⁿ+ β 3ⁿ, значит, f(n+1)= (α 2ⁿ⁺¹+ β 3ⁿ⁺¹), f(n+2)= α 2ⁿ⁺²+ β 3ⁿ⁺², тогда 5f(n+1)-6f(n)=5∙( α 2ⁿ⁺¹+ β 3ⁿ⁺¹)-6∙( α 2ⁿ+ β 3ⁿ)= α (5 2ⁿ⁺¹ –6 2ⁿ)+ β (5 3ⁿ⁺¹ –6 3ⁿ)= =α2ⁿ∙(10–6)+ β 3ⁿ∙(15 – 6)= α 2ⁿ⁺²+ β 3ⁿ⁺²= f(n+2). Рекуррентное соотношение выполняется, следовательно, α 2ⁿ+ β 3ⁿ является решением данного рекуррентного соотношения.

2. Докажем, что любое решение соотношения f(n+2)=5f(n+1)–6f(n) можно записать в виде f(n)= α 2ⁿ+ β 3ⁿ. Но любое решение рекуррентного соотношения второго порядка однозначно определяется значениями первых двух членов последовательности. Поэтому достаточно показать, что для любых а=f(1) и b=f(2) найдутся α и β такие, что 2 α +3 β =а и 4 α +9 β =b. Легко видеть, что система уравнений имеет решение для любых значений а и b.

Таким образом, f(n)= α 2ⁿ+ β 3ⁿ является общим решением рекуррентного соотношения f(n+2)=5f(n+1)–6f(n). Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами

Для решения рекуррентных соотношений общих правил нет, но существует часто встречающийся класс рекуррентных соотношений, для которых известен алгоритм их решения. Это – линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами, т.е. соотношения вида: f(n+k)=c₁f(n+k-1)+c₂f(n+k-2)+…+c_kf(n). Найдем решение общего линейного рекуррентного соотношения с постоянными коэффициентами первого порядка. Линейное рекуррентное соотношение с постоянными коэффициентами первого порядка имеет вид: f(n+1)=c f(n). Пусть f(1)=а, тогда f(2)=c∙f(1)=c∙a, f(3)=c∙f(2)=c²∙a, аналогично f(4)=c³∙a и так далее, заметим, что f(n)=c^n-1∙f(1). Докажем, что последовательность c^n-1∙f(1) является решением рекуррентного соотношения первого порядка. f(n)=c^n-1∙f(1), значит, f(n+1)=cⁿ f(1). Подставляя это выражение в соотношение, получим тождество cⁿ f(1)=с∙ c^n-1∙f(1).

Рассмотрим теперь подробнее линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами второго порядка, то есть соотношения вида f(n+2)=C₁∙f(n+1)+C₂∙f(n).

C₁, C₂- некие коэффициенты, причем C₂ отлично от нуля.

Уравнение вида k²= C₁∙k+C₂ - характеристическое уравнение рекуррентного соотношения второго порядка.

Свойства решений линейных рекуррентных соотношений с постоянными коэффициентами второго порядка:

Свойство 1. Если последовательность x_n является решением, то и последовательность ∙x_n тоже является решением.

Доказательство. x_n является решением, следовательно, выполняется тождество x_n+2=C₁x_n+1+C₂x_n. Домножим обе части равенства на . Получим ∙x_n+2 =∙(С₁∙x_n+1+С₂∙x_n )= С₁∙∙x_n+1+С₂∙∙x_n . Это означает, что x_n является решением.

Свойство 2. Если последовательности x_n и y_n являются решениями, то и последовательность x_n+y_n тоже является решением.

Доказательство. x_n и y_n являются решениями, следовательно, выполняются следующие тождества: x_n+2=C₁x_n+1+C₂x_n. y_n+2=C₁y_n+1+C₂y_n. Выполним почленное сложение двух равенств: x_n+2+y_n+2=С₁∙x_n+1+С₂∙x_n + С₁∙y_n+1+С₂∙y_n= С₁∙(x_n+1+ y_n+1)+С₂∙(x_n +y_n). Это означает, что x_n+y_n является решением.

Свойство 3. Если r₁ является решением квадратного уравнения r²=С₁r+С₂, то последовательность (r₁)ⁿ является решением для исходного линейного рекуррентного соотношения.

Доказательство. r₁ является решением квадратного уравнения r²=С₁r+С₂, значит, (r₁)²=C₁ r₁+C₂. Помножим обе части равенства на (r₁) ⁿ. Получим r₁ ² r₁ ⁿ=(С₁ r₁+С₂) rⁿ. r₁ ⁿ⁺² =С₁ r₁ ⁿ⁺¹+С₂ r₁ ⁿ. Это означает, что последовательность (r₁)ⁿ является решением.

     Теорема 1: Если характеристическое уравнение рекуррентного соотношения второго порядка имеет два различных корня k₁, k₂, то общее решение рассматриваемого рекуррентного соотношения имеет вид: f(n)=∙ k₁^n-1+∙ k₂ ^n-1

Доказательство. Согласно Свойству 3: k₁ⁿ и k₂ ⁿ являются решениями исходного линейного рекуррентного соотношения. Согласно Свойству 1 их можно умножить на произвольные константы и результаты тоже будут решениями, а согласно свойству 2 и их сумма - линейная комбинация 2-х исходных выражений - тоже решение.

Теорема 1а: Если рекуррентное соотношение имеет два равных корня k₁=k₂ =k₀, то общее решение имеет следующий вид f(n)=(C₁+C₂ n)∙ k₀ ^n-1

Доказательство. Согласно Свойству 3: k₀ⁿ является решением исходного линейного рекуррентного соотношения. Так как k₀ кратный корень характеристического квадратного уравнения, то характеристическое уравнение имеет вид (k- k₀) ²=0, т.е. k²=2kk₀ - k₀² . Согласно правилу построения характеристического уравнения линейное рекуррентное соотношение для этого характеристического квадратного уравнения имеет вид:

f(n+2)= 2k₀∙f(n+1) - k₀² ∙f(n).

Подставим в левую часть последовательность nk₀ⁿ:

2k₀∙ (n+1)k₀ⁿ⁺¹ - k₀² ∙ nk₀ⁿ= 2nk₀ k₀ⁿ⁺¹ +2k₀ k₀ⁿ⁺¹ - k₀² ∙ nk₀ⁿ= 2n k₀ⁿ⁺² - n k₀ⁿ⁺² +2k₀ⁿ⁺² = n k₀ⁿ⁺² +2k₀ⁿ⁺²= (n+2)k₀ⁿ⁺² = f(n+2).

Т.о., последовательность nk₀ⁿ является решением для исходного линейного рекуррентного соотношения. Тогда, Свойствам 1 и 2 из решений k₀ⁿ и nk₀ⁿ можно построить линейную комбинацию с произвольными коэффициентами, тоже являющуюся решением.

Линейные рекуррентные соотношения, порядок которых больше 2, решаются аналогично.