6. Електростатика

Закон збереження електричного заряду:

.

Поверхнева густина заряду: , де S – площа поверхні.

Закон Кулона: , де  – відносна діелектрична проникність середовища; – коефіцієнт пропорційності; ₀ – електрична стала.

Напруженість поля: .

Модуль напруженості поля точкового заряду: ,

де r – відстань від заряду до точки поля.

Принцип суперпозиції полів:

Відносна діелектрична проникність середовища: ,

де E₀ – напруженість електричного поля у вакуумі; E – напруженість електричного поля в середовищі.

Напруженість електростатичного поля, створеного нескінченною зарядженою площиною

.

Робота при переміщенні заряду в однорідному електричному полі

.

Потенціал електричного поля: ,

де q₀ – точковий заряд, внесений в дану точку поля; W_n – потенціальна енергія заряду в даній точці поля.

Потенціал поля точкового заряду: , де q – заряд, що cтворює електричне поле.

Різниця потенціалів (напруга) між двома точками поля

.

Зв’язок між напруженістю однорідного поля і різницею потенціалів

,

де d – відстань між точками, виміряна вздовж лінії напруженості.

Електроємність: .

Електроємність плоского конденсатора: ,

де S – площа пластини, d – відстань між пластинами.

З’єднання конденсаторів у батареї:

паралельне з’єднання: ,

послідовна сполука:

Енергія електричного поля: .

Густина енергії електричного поля: .

При розв’язання задач розділу електростатика варто звернути увагу, що застосовуючи принцип суперпозиції полів, слід враховувати векторний характер напруженості поля, а значить застосовувати правила додавання векторних величин.

Приклад 6.1. Дві однакових заряджених кульки, підвішених на нитках однакової довжини опускаються в бензол. Який повинна бути густина матеріалу кульок , щоб кут розбіжності  в повітрі й у бензолі був однаковим? Діелектрична проникність бензолу  = 2,25, густина _б = 875 кг/м³.

q1 = q2 = q l1 = l2 = l 1 = 2 =  б = 875 кг/м3  = 2,25

 – ?

У повітрі на кожну кульку діє три сили: сила тяжіння ; кулонівська сила відштовхування ; сила натягування нитки .

Умова рівноваги кульки , звідки: .

У бензолі на кульки додатково діє сила Архімеда.

.

З урахуванням якої умова рівноваги запишеться так:

.

Звідки .

Крім того, за законом Кулона , .

Тому, поділивши на з урахуванням закону Кулона, одержимо значення діелектричної проникності бензолу

.

Звідки густина бензолу

.

Відповідь: 1575.

Приклад 6.2. Плоский повітряний конденсатор заряджений таким чином, що його енергія дорівнює 0,03 Дж. Потім, не відключаючи конденсатор від джерела, всередину нього вводять плоску пластину з діелектрика ( = 4). Товщина пластинки дорівнює відстані між пластинами. Знайти роботу сторонніх сил, виконану при введенні пластини.

W1 = 0,03 Дж;  = 4;	За визначенням, робота сторонніх сил Аст дорівнює збільшенню енергії зарядженого конденсатора ,
Aст – ?

де , –електроємність плоского конденсатора.

У випадку коли конденсатор приєднаний до джерела, то – напрузі джерела.

Звідки .

Відповідь: 0,09

1. Між двома зарядженими пластинами, розташованими горизонтально у вакуумі на відстані 4,8 мм друг від друга, знаходиться в рівновазі негативно заряджена крапелька олії масою 10 нг. Скільки "надлишкових" електронів має крапелька, якщо на пластини подано напругу 1 кВ? 1 нг = 10^-12 кг, g = 10 м/с². Заряд електрона 1,610^-19 Кл. Вибрати та обґрунтувати правильну відповідь:

а) 1000; б) 2000; в) 3000; г) 4000.

2. Дві однакових металевих кульки заряджені таким чином, що заряд однієї з них в 5 разів більше заряду іншої. Кульки привели в стикання і розсунули на попередню відстань. В скільки разів збільшилась сила взаємодії, якщо кульки були заряджені однойменно?

3. Позитивно заряджена кулька масою 0,18 г і густиною речовини 1800 кг/м³ знаходиться в зваженому стані в рідкому діелектрику густиною 900 кг/м³. В діелектрику є однорідне електричне поле напруженістю 45 кВ/м, спрямоване вертикально вгору. Знайти заряд кульки. Відповідь виразити в нКл. 1нКл = 10^-9 Кл. g = 10 м/с². Вибрати та обґрунтувати правильну відповідь:

а) 2 нКл; б) 20 нКл; в) 22 нКл; г) 0,2 нКл.

4. До якої різниці потенціалів необхідно зарядити горизонтально розташовані на відстані 4 см одна від одної пластинки, щоб порошинка масою 3,210^-11 кг, яка несе на собі 1000 “надлишкових” електронів, виявилася в рівновазі між цими пластинами? g = 10 м/с². Заряд електрона 1,610^-19 Кл. Відповідь виразити в кВ.

5. Який шлях по силовій лінії до повної зупинки проходить α – частинка в однорідному гальмівному полі напруженістю 210⁶ В/м, якщо її початкова швидкість 210⁷ м/с? Маса α – частинки 6,410^-27 кг, заряд 3,210^-19 Кл.

6. Кулька масою 40 мг, яка має позитивний зарядом 10^-9 Кл, рухається зі швидкістю 0,1 м/с. На яку відстань може наблизитися кулька до позитивного точкового заряду, рівному 210^-9 Кл. 1 мг = 10^-6 кг. Прийняти k = 910⁹ (Нм²/Кл²). Відповідь виразити в сантиметрах. Вибрати та обґрунтувати правильну відповідь:

а) 3 см; б) 9 см; в) 18 см; г) 81 см.

7. Два заряди по 410^-8 Кл знаходяться на відстані 80 см один выд одного. Яку роботу необхідно виконати, щоб наблизити їх до 10 см? k = 910⁹ (Нм²/Кл²). Відповідь дати в мікроджоулях. 1 мкДж = 10^-6 Дж.

8. Яке початкове прискорення отримає крапелька рідини, що втратила 100 електронів, якщо на відстані 3 см від неї розмістили заряд 210^-6 Кл? Маса крапельки 1,610^-5 г. k = 910⁹ (Нм²/Кл²).

9 . Три конденсатори з ємностями C₁ = 0,2 мкФ; C₁ = C₂ = 0,4 мкФ; з’єднані за схемою, зображеної на рисунку, та підключені до джерела струму напругою 250 В. Знайти загальний електричний заряд. Відповідь виразити в мкКл. 1мкКл = 10^-6 Кл.

9. Яке початкове прискорення отримає крапелька рідини, що втратила 100 електронів, якщо на відстані 3 см від неї розмістили заряд 210^-6 Кл? Маса крапельки 1,610^-5 г. k = 910⁹ (Нм²/Кл²).

10. Визначити величину роботи, здійсненої при переміщенні заряду в однорідному електричному полі напруженістю 610⁴ В/м. Шлях, що проходе заряд 5 см. Напрямок переміщення складає з напрямком поля 60. Відповідь виразити в мкДж. 1мкДж = 10^-6 Дж. Вибрати та обґрунтувати правильну відповідь:

а) 1 мкДж; б) 2 мкДж; в) 4 мкДж; г) 6 мкДж.

11. Плоский повітряний конденсатор зарядили до 200 В, відключили від мережі і приєднали паралельно до незарядженого конденсатора таких же розмірів, але з діелектриком. Знайти діелектричну проникність цього діелектрика, якщо напруга на батареї виявилась 25 В.

12. До якої напруги необхідно зарядити телефонний конденсатор ємністю 210^-6 Ф, щоб на ньому знаходився такий же заряд, як на лейденській банці ємністю 10^-9 Ф, зарядженій до напруги 30000 В?

13. В скільки разів необхідно змінити величину кожного з двох однакових зарядів, щоб при зануренні їх у воду сила взаємодії при тій же відстані між ними була така ж, як у повітрі? Діелектрична проникність повітря 1, води – 81. Вибрати та обґрунтувати правильну відповідь:

а) 3; б) 9; в) 81; г) 1.

14. Плоский конденсатор зарядили до різниці потенціалів 200 В та відключили від джерела. Який буде різниця потенціалів між пластинами, якщо відстань між ними збільшити в 2 рази?

15. Конденсатор, заряджений до різниці потенціалів 100 В з’єднується однойменно зарядженими обкладинками з конденсатором вдвічі більшої ємності зарядженим до різниці потенціалів 40 В. Яка різниця потенціалів установиться обкладинками першого конденсатора?

16. В однорідному полі з напруженістю 40 кВ/м знаходиться заряд 27 нКл. Знайти напруженість результуючого поля на відстані 9 см від заряду в точці, що лежить на силовій лінії однорідного поля в напрямку її (силової лінії), що проходить крізь заряд. Прийняти k = 910⁹ (Нм²/Кл²). Відповідь виразити в кВ/м. 1нКл = I0^-9 Кл. Вибрати та обґрунтувати правильну відповідь:

а) 35 кВ/м; б) 70 кВ/м; в) 13 кВ/м; г) 10 кВ/м.

17. Електричне поле створене двома нескінченними паралельними пластинами, які мають рівномірно розподілений з поверхневими густинами +27I0^-9 Кл/м² і -27I0^-9 Кл/м² заряд. Визначити напруженість поля між пластинами, що знаходяться в повітрі. Прийняти ₀ = 910^-12 Ф/м. Відповідь дати в кВ/м.

18. Електрон, який рухається під дією електричного поля, збільшив свою швидкість з 10 Мм/с до 30 Мм/с. Знайти різницю потенціалів між кінцевою і початковою точками переміщення. Маса електрона 910^-31 кг, заряд електрона 1,610^-19 Кл. 1Мм/с = 10⁶ м/с. Вибрати та обґрунтувати правильну відповідь:

а) 1125 В; б) 2250 В; в) 4500 В; г) 5625 В.

19. Знайти об’ємну густину енергії електричного поля в точці, що знаходиться на відстані 8 см від поверхні зарядженої кулі радіусом 2 см. Поверхнева густина заряду на кулі дорівнює 310^-5 Кл/м². Куля знаходиться в повітрі. Прийняти ₀ = 910^-12 Ф/м.

20. Плоскому повітряному конденсатору надано заряд 1,7710^-7 Кл. Площа обкладинки конденсатора 210^-3 м², відстань між обкладинками 1,410^-3 м. Чому дорівнює напруга між обкладинками конденсатора? ₀ = 910^-12 Ф/м. Відповідь виразити в кВ.

21. Плоский повітряний конденсатор з відстанню між пластинами 1 мм заряджений до 100 В. Потім пластини розсунули до відстані 5 мм. Знайти зміну густини енергії електричного поля конденсатора після розсування пластин, якщо джерело напруги перед розсуванням не відключалось. Відповідь виразити в мДж/м³. Прийняти для повітря  = 1, ₀ = 910^-12 Ф/м. 1мДж = 10^-3 Дж.

22. Електрон влітає в плоский конденсатор паралельно пластинам зі швидкістю 210⁷ м/с. Відстань між пластинами конденсатора 10 мм, довжина пластин 5 см. На пластини подана постійна напруга 45 В. На яку відстань зміститься електрон від початкового напрямку, під дією електричного поля? Відповідь виразити в мм. Заряд електрона 1,610^-19 Кл, маса електрона 910^-31 кг. Вибрати та обґрунтувати правильну відповідь:

а) 1 мм; б) 1,25 мм; в) 2,5 мм; г) 5 мм.

23. Визначити роботу, що виконується при переміщенні заряду 110^-6 Кл з точки, що знаходиться на відстані 30 см від точкового заряду 310^-6 Кл до точки, розташованої на відстані 50 см від цього заряду. Середовище – повітря. k = 910⁹ (Нм²/Кл²).

24. Відстань між пластинами конденсатора 25 см, напруженість електричного поля в конденсаторі постійна і дорівнює 180 В/м. Електрон летить вздовж силової лінії від однієї пластини конденсатора до іншої. Початкова швидкість електрона дорівнює нулю. Яку швидкість здобуває електрон на цьому шляху за рахунок роботи сил електричного поля? Заряд електрона 1,610^-19 Кл, маса електрона 910^-31 кг. Відповідь дати в мегаметрах в секунду. 1 Мм/с = 10 м/с.

25. Порошинка масою 10^-5 г, яка має заряд 10^-8 Кл, влетіла в електричне поле в напрямку силових ліній. Після проходження різниці потенціалів 150 В порошина має швидкість 20 м/с. Яка була швидкість порошинки до того, як вона влетіла в поле? Вибрати та обґрунтувати правильну відповідь:

а) 1 м/с; б) 5 м/с; в) 10 м/с; г) 15 м/с.

26. Знайти заряд на батареї конденсаторів, з’єднаних послідовно, якщо ємність першого конденсатора 2 мкФ, другого – 4 мкФ. Напруга на батареї 300 В. Відповідь виразити в мікрокулонах. 1мкКл = 10^-6 Кл. 1мкФ = 10^-6 Ф.

27. Між двома вертикальними пластинами, зарядженими різнойменно, підвішена на шовковій нитці заряджена кулька масою 0,05 г. Знайти заряд кульки, якщо нитка розташована під кутом 45º до вертикалі. Заряд кожної пластини 8,8510^-8 Кл, площа пластини 2 м². g = 9,8 м/с². ₀ = 8,8510^-12 Ф/м. Відповідь виразити в мікрокулонах. 1 мкКл = 10^-6 Кл.

28. Два точкових заряди 310^-8 Кл і 3610^-8 Кл створюють електричне поле. В точці, яка знаходиться на відстані 3 см від першого заряду і 9 см від другого заряду, вектори напруженості утворюють прямий кут. Знайти напруженість поля в цій точці. k = 910⁹ (Нм²/Кл²). Відповідь дати в кВ/м.

29. Плоский повітряний конденсатор заряджений до напруги 1800 В, напруженість поля конденсатора 300 В/см. В конденсатор паралельно його пластинам вводять металеву незаряджену пластину товщиною 3 см. Площа пластин 21 см². Визначити електроємність конденсатора з введеною пластиною. Відповідь виразити в пФ. 1пФ = 10^-12Ф. ₀ = 910^-12 Ф/м.

30. З яким прискоренням буде падати кулька масою 1 г, якщо їй надати заряд 10^-6 Кл? Напруженість поля Землі дорівнює 130 В/м і спрямована до її поверхні. g = 9,8 м/с². Вибрати та обґрунтувати правильну відповідь:

а) 9,8 м/с²; б) 9,93 м/с²; в) 10 м/с²; г) 9,67 м/с².