2. Динаміка

Другий закон Ньютона: , де – рівнодіюча всіх сил, яка прикладена до матеріальної точки; m, – маса та прискорення матеріальної точки.

Другий закон Ньютона в більш загальній формі: , де – імпульс тіла.

Закон збереження імпульсу для замкненої системи:

.

Сила пружності: , де k – коефіцієнт пружності чи жорсткості пружини; x – величина пружної деформації.

Сила тертя: , де  – коефіцієнт тертя; N – модуль сили реакції опори.

Закон всесвітнього тяжіння: , де F – сила взаємного притягування двох матеріальних точок масами m₁ та m₂; r – відстань між ними; G – гравітаційна стала.

Третій закон Ньютона: .

Важливо згадати, що другий закон Ньютона справедливий тільки в інерціальних системах відліку.

Для розв’язування задач динаміки складається рівняння руху матеріальної точки, яке виражає другий закон Ньютона.

При цьому рекомендується наступний порядок дії:

Зробити креслення і на ньому зобразити усі реально діючі на тіло сил.

Записати другий закон Ньютона в векторній форі.

Вибрати систему координат. При цьому у випадку прямолінійного руху одну з осей (ОХ) направити вздовж прискорення ; при рівномірному прямолінійному русі вісь направити в сторону руху. При русі по колу позитивний напрямок вісі (ОХ) краще поєднати з напрямком доцентрового прискорення.

Якщо сили діють не по одній прямій, то вибирають дві взаємно перпендикулярні вісі ОХ та ОУ, які лежать в площині дії сил.

Спроектувати на вісі ОХ та ОУ діючі сили і записати алгебраїчну суму проекцій цих сил на кожну вісь.

Якщо в задачі розглядається рух системи зв’язаних між собою тіл, то рівняння руху записати для кожного тіла окремо.

Таким чином отримаємо систему рівнянь, число яких дорівнює числу невідомих; якщо число невідомих більше кількості рівнянь, то скласти ще рівняння на основі формул кінематики так, щоб система розв’язувалась.

Приклад 2.1. У верхнього краю гладкої похилої площини з кутом нахилу 30 закріплений легкий блок, через який перекинута тонка нерозтяжна нитка з прив’язаним до її кінців вантажів, один з яких, масою 2 кг, знаходиться на площині, інший – масою 3 кг, прив’язаний до звисаючого з блоку кінця нитки. Знайти силу натягу нитки. Тертя в осі блоку нема. g = 10 м/с² .

 =30; m1 = 2 кг; m2 = 3 кг; T1 = T2 = T; g = 10 м/с2.

T – ?

Запишемо рівняння за другим закон Ньютона для кожного вантажу:

Так як F_тр = 0, то проектуємо сили тільки на вісі ОХ та ОУ:

Відповідь: 18.

П риклад 2.2. Тіло масою 1 кг лежить на горизонтальній площині. Коефіцієнт тертя 0,1. На тіло діє горизонтальна сила 0,5 Н. Визначити силу тертя. g = 10 м/с² .

m = 1 кг;  = 0,1; F = 0,5 H;

Fтр – ?

Запишемо рівняння за другим законом Ньютона:

В проекціях на вісі координат:

(ОХ): (ОУ): .

Знайдемо максимальну силу тертя спокою:

Тіло знаходиться в стані спокою, тобто а = 0, тоді:

Відповідь: 0,5

1. Пружна кулька масою 50 г падає на плиту під кутом 60 до нормалі і під таким самим кутом відскакує від неї без втрати швидкості. Знайти імпульс сили, який діє на кульку за час удару, якщо швидкість кульки дорівнює 40 м/с.

2. Визначити масу вантажу, який можна підняти рівноприскорено протягом 10 с силою 1020 Н на висоту 10 м. g = 10 м/с². Вибрати та обґрунтувати правильну відповідь.

а) 50 кг; б) 75 кг; в) 100 кг; г) 150 кг.

3. Брусок масою 5 кг затиснутий між двома вертикальними колодками. Сила затискування дорівнює 150 Н, а коефіцієнт тертя 0,2. Яку силу необхідно прикласти до бруска, щоб витягнути його вниз?

4. Вантаж масою 50 кг притискається до вертикальної стінки силою 100 Н. Яка необхідна сила, щоб рівномірно тягнути вантаж вертикально вгору? Коефіцієнт тертя дорівнює 0,3. g = 10 м/с². Вибрати та обґрунтувати правильну відповідь.

а) 500 Н; б) 530 Н; в) 560 Н; г) 590 Н.

5. Снаряд масою 60 кг вилітає з гармати зі швидкістю 800 м/с. Чому дорівнює середня сила тиску порохових газів, якщо час руху снаряду всередині гармати дорівнює 0,02 с? Відповідь дати в МН. 1МН = 10⁶ Н.

6. Потяг масою 500 т після припинення тяги тепловозу зупиняється під дією сили тертя, яка дорівнює 10⁵ Н, через 1 хвилину. Визначити швидкість потягу до моменту припинення тяги? Вибрати та обґрунтувати правильну відповідь.

а) 12 м/с; б) 16 м/с; в) 18 м/с; г) 20 м/с.

7. Тіло масою 2 кг рухається назустріч іншому тілу, маса якого 3 кг, та непружно стикається з ним. Швидкість тіл до зіткнення були відповідно рівними 1 /с та 2 м/с. Скільки часу будуть рухатись ці тіла після зіткнення, якщо вони рухаються по горизонтальній поверхні з коефіцієнтом тертя 0,05? g = 10 м/с².

8. Хлопчик масою 50 кг гойдається на гойдалці з довжиною підвісу 4 м. З якою силою він давить на сидіння при проходженні середнього положення зі швидкістю 6 м/с? g = 10 м/с². Вибрати та обґрунтувати правильну відповідь.

а) 500 Н; б) 750 Н; в) 950 Н; г) 1000 Н.

9. Шматок пластиліну масою 0,2 кг, який кинуто вертикально вгору, перед ударом о стелю мав швидкість 9,9 м/с. Деформуючись при ударі, пластилін прилипає до стелі та приймає кінцеву форму через 0,18 с. Знайти середню силу тиску шматка пластиліну на стелю при ударі. g = 10 м/с².

10. З висоти 25 м тіло падає протягом 2,5 с. Яку частину складає середня сила опору повітря від сили тяжіння? g = 10 м/с².

11. Шайба, яка була пущена по поверхні льоду з початковою швидкістю 20 м/с, зупинилася, пройшовши 100 м. Знайти коефіцієнт тертя шайби о лід. g = 10 м/с². Вибрати та обґрунтувати правильну відповідь.

а) 0,1; б) 0,2; в) 0,3; г) 0,4.

12. Вантаж на нитці, обертаючись з частотою 1 об/с, описує в горизонтальній площині коло радіусом 25 см. Який кут утворює нитка з вертикаллю? Прийняти ² = 10; g = 10 м/с².

13. Під дією постійної сили 50 Н протягом 8 с швидкість тіла масою 100 кг була збільшена до 10 м/с. З якою швидкістю рухалось тіло до прикладення сили?

14. По випуклому мосту, радіус кривизни якого 100 м, зі швидкістю 72 км/год рухається автомобіль масою 2 т. В точці моста, напрямок на яку з центра кривизни мосту складає з напрямком на вершину мосту кут , автомобіль тисне з силою 2000 Н. Визначити кут . g = 10 м/с². Відповідь дати в градусах.

15. Під дією сили 5 Н пружина розтягується на 0,04 м. Визначити розтягнення пружини під дією сили 7,5 Н. Вибрати та обґрунтувати правильну відповідь.

а) 0,01 м; б) 0,03 м; в) 0,06 м; г) 0,09 м.

16. Машина масою 1000 кг рухається по вгнутому мосту радіусом 100 м зі швидкістю 12 м/с. Знайти силу тиску машини на міст в нижній точці траєкторії. g = 10 м/с². Відповідь дати в кН.

17. Через нерухомий блок перекинута мотузка, до одного з кінців якої прив’язаний вантаж масою 64 кг. На другому кінці повисла людина масою 65 кг, яка вибираючи мотузку піднімає вантаж, зостаючись при цьому на одній і тієї ж відстані від підлоги. Через який час вантаж буде піднятий на висоту 5 м? Масою мотузки та блоку знехтувати. g = 10 м/с².

18. Два вози рухаються назустріч один одному зі швидкостями 0,3 м/с та 0,2 м/с, маси возів 140 кг та 260 кг відповідно. З якою швидкістю будуть рухатись вози після зіткнення та зчеплення один з одним? Направлення легкого воза вважати позитивним.

19. Повний імпульс системи двох матеріальних точок, які рухаються по взаємно перпендикулярним напрямкам, дорівнює 5 кгм/с. Визначити імпульс першої матеріальної точки, якщо імпульс другої матеріальної точки дорівнює 3 кгм/с.

20. Гелікоптер масою 30 т підіймає на тросі вертикально вантаж масою 10 т з прискоренням 1 м/с². Знайти силу тяги гелікоптера. g = 10 м/с². Відповідь виразити в кН. Вибрати та обґрунтувати правильну відповідь.

а) 400 кН; б) 420 кН; в) 430 кН; г) 440 кН.

21. Вантажний автомобіль масою 6 т виїжджає на паром, який прив’язаний до берега двома канатами, зі швидкістю 18 км/год. В’їхавши на паром, автомобіль зупинився, пройшовши при гальмуванні шлях 10 м. Визначити сумарну силу натягу канатів. Відповідь дати в кН.

22. Людина, стоячи на ковзанах на гладкому льоді, кидає камінь масою 0,6 кг. Через 2 с камінь досягає берегу, пройшовши відстань 20 м. Знайти модуль швидкості, з якою починається рухатись людина, якщо її маса 60 кг. Тертям ковзанів та каменя о лід знехтувати.

23. На нитці перекинутої через нерухомий блок, підвішені вантажі масою 0,3 кг та 0,34 г. Через 2 с після початку руху кожний вантаж пройшов шлях 1,2 м. Знайти прискорення вільного падіння, виходячи з даних опиту.

24. Автодрезина веде дві платформи з вантажем, розвиваючи силу тяги 800 Н. Маса першої платформи 12 т, другої – 8 т. З якою силою натягнуте зчеплення між платформами? Состав рухається рівномірно.

25. На гладкій горизонтальній площині знаходяться два зв’язаних ниткою однакових вантажі масою 0,9 кг кожний. На нитці, яка прикріплена до цих вантажів та перекинута через невагомий блок, прикріплений такий самий вантаж. Яка сила натягу між першим та другим вантажем? g = 10 м/с².

26. З яким прискоренням рухається брусок вниз по похилій площині (кут нахилу  = 30) при коефіцієнті тертя 0,2? g = 10 м/с². cos 30 = 0,87; sin 30 = 0,5.

27. Яку силу треба прикласти для підйому вагонетки масою 600 кг по естакаді з кутом нахилу 30, якщо коефіцієнт опору дорівнює 0,1? Рух вважати рівномірним. g=10 м/с². cos30=0,85. Відповідь дати в кН.

28. Матеріальна точка масою 1 кг, яка рухається рівномірно, описує чверть кола радіусом 1,2 м протягом 3,14 с. Знайти зміну імпульсу точки. Прийняти  = 3,14.

29. Автомобіль масою 10 т рухається рівносповільнено і протягом 4 с проходить до повної зупинки шлях 32 м. Визначити силу гальмування. Відповідь дати в кН.

30. Знайти подовження буксирного тросу з жорсткістю 10⁵ Н/м при буксируванні з постійною швидкістю по горизонтальній дорозі саней масою 210³ кг. Коефіцієнт тертя дорівнює 0,1. g = 10 м/с².