8. Логико-математические аспекты структур

26. Все только что упомянутые «конкретные» операциональные структуры предполагают построе­ние определенных количеств: величины классов для классификации (что объясняет трудность квантифи-кации включений классов), размера различий для се-риации, количественных сохранений и т. п.. Но даже до построения этих количественных структур на доо-перациональныхуровнях могут наблюдаться опреде­ленные частичные качественные структуры, которые имеют большой интерес, потому что составляют, так сказать, первую половину логики обратимых опера­ций. Это ориентированные функции (однонаправлен-ные функции, не имеющие инверсий, которые предполагали бы обратимость) и качественные тождествен­ности (см. п. 10).

Функции, как мы помним, являются «чертежами» в математическом смысле, которые не имеют инверсий, потому что, как мы видели, психологически связаны с целенаправленными схемами действий. Предположим, например, что экспериментатор держит в руках один конец веревки (в), перекинутой через блок, а к другому ее концу подвешен груз, так что одна часть веревки (а) находится под прямым утлом к другой ее части (а¹). Все дети в возрасте от 4 до 7 лет понимают, что если потя­нуть за веревку, то одна ее часть (а) станет короче, а другая часть (а¹) длиннее. Но они все еще не обладают понятием сохранения длины всей веревки (в) (в = а¹ + а), и то, что они осуществляют, это не квантифицирован-ная операция, а просто инверсное или ординальное приравнивание (длиннее = дальше).

Сходным образом в случае тождества, как мы виде­ли, все дети (или почти все) соглашаются, что, когда пластилиновый шарик раскатывается в колбаску, он все равно остается «одним и тем же» куском пластилина, даже если количество его и не сохраняется. Подобные представления о тождественности приобретаются очень рано, и упомянутая нами в п. 2 схема постоянного объ­екта — одна из них. Брунер в своей книге рассматри­вает их как источник сохранения количеств. В извест­ном смысле это верно (они составляют необходимое, но недостаточное условие), но при этом остается цент­ральное различие: качества (на которых основывается качественная тождественность) могут быть установле­ны перцептивно, тогда как количества включают дли­тельно вырабатываемую структуру, сложность которой мы только что видели (пп. 23—26). В действительности функции и качественная тождественность составляют только дооперациональную и качественную половину логики, они ведут к логике обратимых и количественных соответствий, но недостаточно могущественны, чтобы отвечать за нее.

27. Этот количественный аспект конкретных опера­ций в противоположность качественной природе до-операциональных функций и тождественностей от­крывается, в частности, в построении (в возрасте 7—8 лет) операций, связанных с числом и измерением, частично изоморфных друг другу, но имеющих совер­шенно различное содержание. Построение количе-ственных чисел не может объясняться просто установ-лением взаимнооднозначных соответствий между чквивалентными классами, как считали Рассел и Уай-тхед, потому что использованные ими соответствия, от­влеченные от качеств (в противоположность каче­ственным соответствиям между индивидуальными объектами, обладающими одними и теми же свойства­ми), имплицитно вводят единицу и число, что приво­дит к порочному кругу. В действительности, когда мы имеем дело с ограниченными совокупностями, коли­чественные числа не могут быть диссоциированы от порядковых, подчиняясь трем следующим условиям.

a. Абстракция от качеств, делающая все отдельные объекты эквивалентными, и поэтому 1 = 1 = 1.

b. Упорядочение: 1 —»1 -»1..., которое необходимо для различения объектов друг от друга, иначе было бы спра­ведливо равенство 1 + 1 = 1.

c. Включение (1) в (1 + 1), затем (1 + 1) в (1 + 1 +1) ит. п.

Поэтому целые числа являются результатом синте­за упорядочивания (сериация) и включения (классифика­ция), которые необходимы для абстрагирования от ка­честв. Отсюда целые числа строятся из чисто логических элементов (сериации и классификации), но последние реорганизуются, составляя новый синтез, допускаю­щий квантификацию посредством процесса итерации: 1 + 1 =2 и т. п.

Сходным образом измерение континуума (напри­мер, линии, поверхности) предполагает: (а) его разби­ение на сегменты, один из которых затем выбирается в качестве единицы и приравнивается к остальным посредством конгруэнтности: а=а=а..., fb/определен­ное упорядочение этих единиц: а-^> а—> а... и т. п. и (с) приведение единиц в виде аддитивных композиций: а в (а+а) и (а + а) в (а+а+а). Таким образом, данный син­тез разбиения и включения сегментов и упорядочения изоморфен синтезу упорядочения и включения, харак­теризующему число, что дает возможность использо­вать число для измерения.

Поэтому ясно, что, не прибегая ни к чему другому, кроме синтеза элементарных «группировок» включе­ния и порядка, субъект достигнет числовой или метрии-

ческой квантификации, мощь которой далеко превос­ходит элементарные квантификации (отношения меж­ду частью и целым) классификаций или сериации, ос­нованных на различениях, оцениваемых просто как «больше» или «меньше».

28. За конкретно-операциональными структурами, упомянутыми в п. 23. в возрасте 11—15 лет происходит построение двух новых структур, делающих возможной манипуляцию такими пропозициональными операция­ми, как импликация (, несовместимость (p/q] и дизъ­юнкция (pVq) и т. п. Такими новыми структурами яв­ляются «группа четырех» и комбинаторные операции.

Комбинаторика на этой стадии состоит в классифи­кации всех возможных классификаций (так же как перестановки являются сериацией сериации) аа, аЪ, ас, be, fob, се и т. п. и поэтому составляют не полностью но­вую операцию, но операцию над другими операциями. Сходным образом группа четырех INRC⁷ является резуль-

⁷ Группа INRC — это группа операций, которые выполня­ются на операциях или элементах какой-либо другой алгебра­ической структуры и имеют инволютивную операцию (опера­цию, являющуюся своей собственной инверсией: N⁷=\). Примером инволютивной операции является закон двойствен­ности (де Моргана) в булевой алгебре: р~уд=рлд, который мы можем записать: N (pvq)=p~Aq (N обозначает отрицание). Если мы определим С (коррелятивность) как правило, которое дей­ствует на отношениях, изменяя л на v и наоборот, и R (симмет­рию) как правило, которое действует по отношению к знакам истинности, меняя р на р и обратно, то, используя последова­тельно С и R (скажем, на (pvg)), мы получим тот же результат, что и при использовании N. Следующая диаграмма иллюстри­рует отношения между N, R и С, применяемыми в (pvq):

Тождественность / может быть определена как правило, которое изменяет любую формулу в самое себя, и посредством «прогона» по диаграмме легко может быть проверена последо­вательность следующих свойств:

a. RC=N, RN^C, CN=R, и все пары обладают коммутатив­ностью — RC=CR, etc.

татом объединения а целое инверсий N ирецвпрокнос-тей R (поэтому появляется инверсия реципрокности С (NR=C), также как и тождественная операция 1 = NRC. Но инверсия уже существовала в группировках классов в форме Л —А = 0, а реципрокность — в группировках отношений в виде А=В, откуда В=А. Группа INCR, таким образом, вновь является операциональной структурой, имеющей отношение к предшествовавшим операциям. Что до пропозициональных операций рэди т. п., кото-рые нключают как комбинаторику, так и группу INRC, то они новы по форме, но по своему содержанию относятся к связям между классами, отношениями или числами, и поэтому опыты являются операциями над операциями. Вообще операции, принадлежащие третьему пери­оду развития (см. п. 10, период С для возраста 11—12

b. C²=N²=R²=I (все трансформации являются инволютив-ными, т. е. для каждого элемента определена инверсия).

c. RNC=I.

На основании этого можно показать, что группа 1NRC вместе с операцией композиции (понимаемой в обычном смыс­ле слова как применение трансформации к результату другой) является группой четырех элементов, не составляющей кольцо (известной как «группа четырех» Клейна).

Группа INRC также может быть определена на физичес­кой системе, имеющей соответствующую структуру (т. е. инво­лютивную трансформацию, которая может быть «разложена» не две другие инволютивные трансформации). Один из экспе­риментов Пиаже на системе с двойным отсчетом включал ситуацию: на маленькой дощечке находилась улитка, которая могла ползти слева направо и обратно, причем саму дощечку также можно было перемещать в обе стороны вдоль стола. Можно определить С как правило, обращающее перемещение улитки: C(Z, Z)=(R, Z), где (R, Z) означает, что улитка движется нправо, а дощечка— влево (первая координата). Тогда мы можем определить R как правило, обращающее перемещение вдоль второй координаты, например R(Z, Z)=(Z, R) (обращение перемещения дощечки). Диаграмма имеет ту же структуру, что и предыдущая, и N (N обращает перемещения по обеим коор­динатам) будет являться результатом

лет), уходят корнями в конкретные операции (подпери-од (Ь.) между 7 и 11 годами), обогащая их, точно так же, как источник конкретных операций лежит в сенсомо-торных схемах (период а, до 2 лет), которые они также значительно изменяют и обогащают. Поэтому после­довательный характер стадий (который мы уже с дос­таточной силой подчеркнули в п. 10) с точки зрения по­строения структур соответствует механизму, который необходимо проанализировать, потому что он слишком важен для того, чтобы просто назвать его секвенциаль­ным, или прогрессирующим, уравновешиванием. Сей­час необходимо понять, как происходят построения, .приводящие к возникновению чего-то нового (что яв­ляется хорошо известной проблемой развития матема­тических структур).

29. Мы видели (п. 21, с), что уже до уровня построе­ния логико-математических операций и поэтому до воз­никновения дедуктивных систем можно было говорить о логико-математических экспериментах, извлекающих информацию из свойств действия, выполненных на объектах, а не из самих объектов, что совершенно раз­личные вещи. Поэтому в противоположность собст­венно абстракции в данном случае мы имеем новый тип абстракции, которую можно назвать рефлексивной и которая является ключом к интересующей нас проб­леме. Чтобы абстрагировать свойство из действия или операции, недостаточно просто отделить его от тех свойств, которые в дальнейшем не будут приниматься во внимание (например, выделить «форму» и отбросить «содержание»); свойство или форма, выделенные та­ким образом, должны быть дополнительно транспони­рованы куда-либо, т. е. перенесены в другой план дей­ствия или операции. В случае простой абстракции такой проблемы не возникает, поскольку тогда мы имеем дело со свойством объекта, ассимилируемым субъектом. Од­нако в случае рефлексивной абстракции, когда субъект извлекает свойство или форму из действий (операций) плана Р_х, он должен затем перенести их в более высо­кий план Р₂, что является их отражением (рефлексом) в квазифизическом смысле (как при отражении луча света). Но для того чтобы данная форма или свойство были ассимилированы в новом плане Р₂, они должны быть реконструированы в этом новом плане и подвер- гнуты новому мыслительному процессу, который будет

теперь означать «отражение» (рефлексию) в когнитив­ном смысле. Поэтому «рефлективную абстракцию» необходимо понимать в обоих смыслах.

Но если для ассимиляции свойств или форм, абст­рагированных в плане P_v необходим новый когни­тивный процесс в плане Р₂, то это означает, что новые операции или действия плана Р₂ будут добавлены к операциям или действиям плана Р,, из которого была абстрагирована данная информация. Следовательно, рефлексивная абстракция по необходимости является конструктивной и обогащающей новыми элементами структуры, выведенные из плана Р_х, что равноценно построению новых структур. Это объясняет, почему конкретные операции, основанные на сенсомоторных схемах, богаче последних и почему то же самое спра­ведливо для пропозициональных, или формальных опе­раций, которые сами основываются на конкретных операциях. Как операции над операциями, они добав­ляют новые способы композиции (комбинаторику и т. п.).

Но рефлексивная абстракция является общим про­цессом построения в математике: например, она служи­ла для выделения алгебры как группы операций над операциями арифметики. Таким же образом Кантор посторил трансфинитную арифметику: он поставил во взаимооднозначное соответствие последовательности 1, 2, 3, 4... и 2, 4, 6, 8. Это произвело новое число (N), выражающее «мощность (число) исчисляемого», но не принадлежащее никакой из последовательностей. Со­временная теория функций таким же образом строит «морфизмы» и т. п., и то же самое справедливо в отно­шении «материнских структур» Бурбаки.

Замечательно то, что процесс построения структур, который мы наблюдали в последовательных стадиях развития ребенка и в механизмах уравновешивания по­средством саморегуляции (что имеет результатом само­регуляцию с помощью обратной связи высшего поряд­ка, т. е. обратимой операции), совпадает с постоянным конструирующим процессом, используемым математи­кой в ее бесконечном продуктивном развитии. В этом состоит решение проблемы развития, несводимого ни к эмпирическому процессу открытия «уже готового» внешнего мира, ни к преформизму или предетерминиз­му (a priori), также означающим, что все «уже готово» от начала. Мы считаем, что истина лежит между двумя этими крайностями, т. е. в конструктивизме, выра­жающем тот способ, которым постоянно вырабатывают­ся новые структуры.