Средние величины:

1	Исходное соотношение средней	ИСС	(Суммарное значение или объём осредняемого признака) (Число единиц или объём совокупности)
2	Средняя арифметическая простая величина		, где Xi – индивидуальное значение признака, n – число единиц совокупности, - средняя величина явления.
3	Средняя арифметическая взвешенная величина		, где fi- вес i-го варианта.
4	Средняя гармоническая простая величина		, где n – число единиц совокупности, Xi - индивидуальное значение признака.
5	Средняя гармоническая взвешенная величина		, где Wi – второстепенный показатель осредняемого признака.
6	Средняя геометрическая невзвешенная		, где к – количество осредняемых величин.
7	Средняя геометрическая взвешенная		, где fi- вес i-го варианта.
8	Средняя хронологическая

2

Модой в статистике называется величина признака (варианта), которая чаще всего встречается в совокупности. В дискретном вариационном ряду это будет варианта, имею­щая наибольшую частоту. Поэтому определение моды для дискретного ряда не представляет трудностей.

При исчислении моды М₀ для интервального вариацион­ного ряда необходимо вначале определить модальный интер­вал, в пределах которого находится мода, а затем приближен­ное значение модальной величины признака по формуле:

Mo = Xo + i

Мо – мода;

Хо – нижняя граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту);

i – величина модального интервала;

fmo – частота модального интервала;

fmo -1 – частота интервала, предшествующего модальному;

fmo +1 – частота интервала, следующего за модальным.

Медианой в статистике называется варианта, которая находится в середине вариационного ранжированного ряда. Медиана делит ряд на две равные части.

Так, медианой ряда из пяти вариант, расположенных в возрастающем или убывающем порядке, будет третья по счету варианта. Когда ряд состоит из четного числа членов, в каче­стве медианы берется средняя арифметическая величина из двух вариант, расположенных в середине ряда. Например, для шести членов ряда медиана будет равна средней арифмети­ческой третьей и четвертой вариант. Так, для следующего ряда: 30, 26, 25, 24, 23 и 20, медиана будет равна (25+24):2=24,5.

Порядковый номер медианы дискретного вариационного ряда равен полусумме частот ряда с добавлением 1/2, или:

При исчислении медианы для интервального вариацион­ного ряда ( ) вначале определяют медианный интервал, в пределах которого находится медиана, аналогичным образом, а затем приближенное значение медианы по формуле:

Me = Xo + i

Me – медиана;

Хо – нижняя граница медианного интервала (медианным интервалом называется интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);

i – величина медианного интервала;

Sme – 1 – накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

fme – частота медианного интервала;

∑fi – общая сумма частот.

Мода и медиана относятся к так называемым структур­ным средним. Они используются как дополнительные харак­теристики к средним величинам или вместо них.

3

Изучаемые статистикой явления и процессы общественной жизни обычно имеют разнообразные варианты, значения признаков. Вариация — изменение (колеблемость) значений признака внутри совокупности. Величины признаков варьируют под действием различных причин и условий. Чем разнообразнее условия, влияющие на размер данного признака, тем больше его вариация.

Поскольку колеблемость признаков бывает большей или меньшей, возникает задача измерения ее величины. Измере­ние вариации признака является необходимым условием при решении целого ряда задач. К основным из них относятся: определение надежности средних величин, результатов выборочных наблюдений для различных совокупностей, вычисления показателей асимметрии и эксцесса и в ряде других случаев.

Для измерения размера вариации в статистике использу­ются различные показатели, которые принято делить на абсо­лютные и относительные. К абсолютным показателям вари­ации относятся: размах вариации, среднее линейное откло­нение, дисперсия признака и среднее квадратическое от­клонение. К относительным показателям — коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, коэффи­циент вариации. Они используются как при сравнении вари­аций различных признаков в одной и той же совокупности, так и при сравнении вариаций одного признака в нескольких совокупностях, где уровень средних арифметических разли­чен.

Показатели вариации рассчитываются по формулам:

1. Размах вариации определяется по формуле:

R = Xmax. – Xmin.

R – размах вариации;

Xmax. – максимальное значение признака;

Xmin.– минимальное значение признака.

2. Среднее линейное отклонение простое определяется по формуле:

d =

d – среднее линейное отклонение простое;

Xi – индивидуальное значение признака;

X - средняя величина признака.

3. Среднее линейное отклонение взвешенное определяется по формуле:

d =

d – среднее линейное отклонение взвешенное;

fi – вес i-го варианта (признака).

4. Дисперсия простая определяется по формуле:

G² =

5. Дисперсия взвешенная определяется по формуле:

G² =

6. Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле:

G =

7. Коэффициент вариации определяется по формуле:

VG = 100%

VG – коэффициент вариации;

G – среднее квадратическое отклонение;

Х – средняя величина явления.

8. Линейный коэффициент вариации определяется по формуле:

Vd = 100%

Vd – линейный коэффициент вариации.

9. Коэффициент осцилляции определяется по формуле:

VR = 100%

VR – коэффициент осцилляции.